Главная Обратная связь

Дисциплины:






ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла функции y = f(x) на интервале . Интеграл I приближенно представляется в виде квадратурной формулы

, (1)

где коэффициенты и точки отсчета (узлы) определяются в соответствии с выбранным способом аппроксимации подинтегральной функции f(x). Погрешность квадратурной формулы (1) зависит от вида аппроксимирующих функций , а также от расположения и количества узлов . Точность формулы (1) увеличивается с ростом числа узлов N.

При практических расчетах значение N обычно выбирают из соотношения

, (7)

Перечислим наиболее употребительные квадратурные формулы численного интегрирования для равноотстоящих узлов , где - шаг интегрирования. Укажем также оценки погрешностей R каждой формулы.

1.Формулы прямоугольников:

Модифицированная формула прямоугольников. Функция f(x) на каждом из интервалов заменяется на постоянную . Тогда

.

Погрешность формул прямоугольников равна . Здесь и далее под понимается m-я производная функции f(x), а - точка максимума функции .

2. Формула трапеций. Здесь функция f(x) на каждом интервале заменяется на кусочно-линейную функцию, совпадающую со значениями функции f(x) при и . Формула имеет вид

, .

3. Формула Симпсона (формула парабол). Функция f(x) на каждом ин-тервале заменяется на параболу. Тогда

,

. Здесь следует выбирать четное значение N .

4. Формулы Ньютона-Котеса замкнутого типа. В качестве аппрокси- мирующей функции здесь используются полиномы Лагранжа порядка n.

.

При n > 8 коэффициенты Ai в формулах Ньютона-Котеса имеют громоздкий вид. При метод становится численно неустойчивым из-за представления коэффициентов в виде дробей с большим числом значащих цифр и с разными знаками.

5. Экстраполяция по Ричардсону. Подход к вычислению интеграла состоит в том, что интеграл вычисляется дважды: с числом подинтервалов N и 2N и последующим объединением результатов. Так, при использовании формулы трапеций в качестве базового алгоритма квадратурной формулы получаем

При использовании формулы Симпсона

6. Формула Гаусса. Точность интегрирования по квадратурной формуле (1) можно повысить, если оптимизировать значения узлов и весов . Формула Гаусса, где значения выбираются в соответствии с расположением нулей полиномов Лежандра порядка n , а связаны с этими полиномами

, ,

где n - порядок используемого полинома Лежандра, -неравноотстоящие значения узлов на стандартном интервале , совпадающие с положением нулей соответствующего полинома Лежандра. Значения узлов и коэффициентов для различных n равны :

при : , ;

при : , ;



при : , , , ;

при : , , , ;

при : , , , , ; .

6. Формулы а) Гаусса-Эрмита, б) Гаусса-Лагерра

а) ;

б) ,

где связаны с полиномами Эрмита и Лагерра порядка n.

Задания.

Используя одну из формул численного интегрирования,

вычислить интеграл из таблицы

 

f(x) f(x)
1. x2, a=0, b=3 16. 1+x4 a=-2.5,b=2.5
2. sin(x+x2), a=0, b=0.8 17 sin(x2) a=0,b=1.5
3. cos(x) a=-1.5, b=1.5 18. cos(x2) a=-1.5, b=1.5
4. (1+x2)-1 a=-4, b=4 19. 1/(1+exp(-x)) a=-1,b=2
5. x(1+exp(-x2))-1 a=0, b=1.5 20 1/(2+cos(x2)) a=-2.5, b=2.5
6.ln(2+cos(x)) a=0, b=1.5 21. sh(-x2) a=0, b=3
7. 1/(1+2x4) a=-2, b=2 22. sin(cos(x)) a=0, b=1.5
8. cos(sin(x)) a=-1, b-1 23. x2/(1+ch(x2)) a=0, b=2.5
9. cos(x3) a=-0.5, b=1.2 24. ln(1+x+x2) a=0, b= 5
10. sin(x)/(2+sin(x)) a=0,b=1.5 25. exp(sin(x)) a=-1, b=1
11. exp(cos(x)) a=0, b=1 26. sh(cos(x)) a=0. b=1.5
12. arctg(x-1) a=0.5 ,b=4 27. cos (sh(x)) a=-2, b=2
13. arctg(exp(-x)) a=-2, b=2 28. sin(x)/x a=-3, b=3
14. (x2+1)/(x4+1) a=0, b=4 29. sin(x2)/x2 a=-3,b=3
15. sin(x)/(1+x4) a= 0,b=3 30. sin(exp(-x2)) a=0, b=2

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...