Главная Обратная связь

Дисциплины:






МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ



ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. Метод наименьших квадратов используется для аппроксимации функциональных зависимостей, полученных экспериментальным путем, кривыми заданной формы, но содержащими вектор неизвестных параметров

. Процедура МНК позволяет на основе реализации определить коэффициенты .

Пусть результаты измерений являются выборкой в моменты времени процесса

. (1)

Если , т.е. имеют нормальный закон распределения, то функция правдоподобия имеет вид

В качестве оценки параметраQможно взять ОМП. Максимуму функции правдоподобия соответствует минимум выражения

(2)

Решая систему уравнений

, (3)

получаем вектор оценок параметра .

В МНК целесообразно использовать линейно-параметрические модели функций

, (4)

где - набор некоторых функций. Наиболее употребительны из таких моделей аппроксимация полиномом

(5)

Тогда получаем систему k линейных уравнений относительно А, В, С,... , решаемую одним из численных методов для систем алгебраических выражений. Например, для кубического полинома система имеет вид

Эта система упрощается, если перейти к центрированному аргументу , то есть перенести ось координат в точку . Тогда суммы всех нечетных степеней и т.д.

Аппроксимация полиномами имеет следующие особенности:

a) ; т.е. число неизвестных коэффициентов k не должно превышать число точек;

b) , так как численные методы при k > 5 становятся неустойчивыми и плохо обусловленными.

Если функция по условиям задачи нелинейно-параметрическая, то можно сделать обратное функциональное преобразование и привести зависимость к линейной. Например,

(6)

Однако такой подход является приближенным, так как при нелинейном преобразовании погрешности дисперсия , т.е. изменяется от точки к точке. В этом случае можно усовершенствовать МНК на случай неравноточных измерений или использовать численные методы решения систем нелинейных уравнений.

РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ:

1) Линейная регрессия, линейная функциональная зависимость

(7)

Система уравнений правдоподобия имеет вид

(8)

Решение системы уравнений (8)имеет вид

(9)

( Очевидно, что ) где

2) Нелинейная регрессия (экспоненциальная модель)

(10)

Преобразование

(11)

приводит зависимость к линейной. Обозначая , получаем

(12)

здесь





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...