Главная Обратная связь

Дисциплины:






Отчет по лабораторной работе №3



Численные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений

 

 

Выполнил студент гр. 23424/1: Колупаев В. А.

(подпись)

 

 

Санкт-Петербург

2014г.

1. При интегрировании систем линейных уравнений на основе информации о значениях собственных чисел матрицы системы оценить максимальную величину шага устойчивого интегрирования и проверить эту оценку экспериментально.

Интервал интегрирования: [0;10]

Метод: Явный метод Эйлера

Номер задачи Величина шага Устойчивость метода
λ1= -1+i λ2= -1-i 0.1 Сходится
0.5 Сходится
Расходится
λ1= -9 λ2= -1 0.1 Cходится
0.2 Сходится
0.3 Расходится  
λ1= i; λ2= -i 0.1 Расходится
0.15 Расходится
0.2 Расходится

 

Метод: Неявный метод Эйлера

Номер задачи Величина шага Устойчивость метода
λ1= -1+i λ2= -1-i 0.1 Сходится
0.5 Сходится
Сходится
λ1= -9 λ2= -1 0.1 Сходится
0.2 Сходится
0.3 Сходится
λ1= i; λ2= -i 0.1 Сходится
0.15 Сходится
0.2 Сходится

 

 

Метод: Трапеций для СЛУ

Номер задачи Величина шага Устойчивость метода
  λ1= -1+i λ2= -1-i 0.1 Сходится
0.5 Сходится
Сходится
λ1= -9 λ2= -1   0.1 Сходится
0.2 Сходится
0.3 Сходится
λ1= i; λ2= -i 0.1 Неустойчив
0.15 Неустойчив
0.2 Неустойчив

 

 

Вывод:

Для тестовых задач №1 и №2 выявлено, что при h<1 для №1 и h<0.3 явный метод Эйлера является абсолютно устойчивым.

Для неявного метода Эйлера выявлено, что сходимость метода не зависит от шага интегрирования и метод устойчив Метод трапеций является устойчивым только при значениях величины шага итнегрирования и собственных чисел, удовлетворяющих условию (Re(λ*h)<=0.

 

2. Исследовать особенности различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.

Метод:трапеций по схеме П(ВК).

Интервал интегрирования: [0;10]



С=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,0001 9.5Е-08 5.5Е-08
0,001 4.7Е-06 3.3Е-06
0,01 1.2Е-04 1.8Е-04
0,1 1.2Е-02 1.6Е-02
неустойчива неустойчива

 

Интервал интегрирования: [0.1;1.2]

d=1, eps=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,0001 1.1Е-06 2.4Е-06
0,001 8.7Е-06 2.2Е-06
0,01 1.2Е-04 1.8Е-04
0,1 1.1Е-00 1.1Е-00
неустойчива неустойчива

 

Интервал интегрирования: [0;10]

С=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,0001 1.2Е-08 1.65Е-08
0,001 1.2Е-06 1.65Е-06
0,01 1.2Е-04 1.65Е-04
0,1 1.2Е-02 1.63Е-02
1.5Е+00 6.7Е-01

 

Интервал интегрирования: [0.1;1.2]

d=1, eps=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,001 8.8Е-05 2.2Е-04
0,01 9.6Е-03 3.4Е-02
0,1 7.9Е-01 1.3Е+00

Метод:трапеций по схеме ПК с итерацией Ньютона и регулируемым шагом.

Интервал интегрирования: [0;10]

С=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,001 1.22Е-06 1.72Е-06
0,01 1.21Е-04 1.71Е-04
0,1 1.22Е-02 1.72Е-02

 

Интервал интегрирования: [0.1;1.2]

d=1, eps=0.1

№ задачи величина шага Погрешность 1-ой компоненты Погрешность 2-ой компоненты
0,001 6.3Е-05 1.35Е-04
0,01 3.6Е-04 9.7Е-04
0,1 1.6Е-03 5.0Е-03

 

Вывод:

Как видно из результатов, П(ВК) и метод трапеций по схеме ПК с итерацией Ньютона постоянным шагом дают примерно одинаковые значения погрешности.

 

3:Исследовать поведение полной ошибки численного решения при интегрировании с постоянным шагом методами различного порядка. (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи от порядка метода при условии постоянства шага интегрирования, и методами одного порядка при вариациях величины шага. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.

 

Зависимость погрешности от порядка метода:

Задача № 1, Интервал интегрирования [0:2]

метод порядок шаг погрешность 1-ой компоненты
Эйлера (неявный) 0,05 5.8E-02
трапеции П(ВК) 0,05 1.0E-03
РК2 0,05 1.95E-03
РК3 0,05 3.21E-05
РК4 0,05 3.21 E-07

Зависимость погрешности метода от величины шага:

задача №2, Интервал интегрирования [0:2]

неявный метод Эйлера (метод 1-ого порядка)

шаг погрешность 1-ой компоненты
0.0005 9.53Е-05
0.001 1.91E-03
0.005 1.81E-02
0.01 2.12E-02
0.05 7.8E-02

 

Задача №2, Интервал интегрирования [0:2]

метод Рунге – Кутты 3 (метод 3-ого порядка)

шаг погрешность 1-ой компоненты
0.0005 1.5Е-09
0.001 1.2E-08
0.005 1.62E-06
0.01 1.34E-05
0.05 2.08E-03

 

Вывод:

С Увеличением порядка метода линейно уменьшается порядок погрешности. Также было выявлено для неявного метода Эйлера и для метода РК4: увеличение величины шага интегрирования приводит к сильному росту максимальной ошибки решения.

 

Задание 5:приинтегрировании жестких задач:

- получить экспериментальные характеристики эффективности явных методов (методы РК4, явный Эйлера)

- установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом (метод трапеции);

- сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...