Главная Обратная связь

Дисциплины:






Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)



 

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма называют поверхностями Каталана*. Они находят широкое применение в строительстве сооружений, при конструировании оболочек покрытий промышленных и общественных зданий в авиационной промышленности, в машиностроении и т.д. Линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма образуется при перемещении прямой линии, в всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой заданной плоскости (плоскости параллелизма) и пересекающей две направляющие. В зависимости от вида направляющих m, n поверхность с плоскостью параллелизма называется цилиндроидом, коноидом и косой плоскостью.

Поверхность с плоскостью параллелизма называют цилиндроидом, если обе направляющие являются кривыми линиями. На рисунке 5.17 а показан каркас прямого цилиндроида, с заданной направляющими m, n и плоскостью параллелизма DП1 (параллельна плоскости проекций П1).

В этом случае образующие цилиндроида являются горизонталями, а их фронтальные проекции параллельны плоскости П1 (рисунок 5.17 а). При пересечении фронтально проецирующей плоскостью S2 цилиндроид пересекается по кривой линии l (2,3,4,5,6), которая построена по точкам пересечения следа плоскости S2 с образующими цилиндроида в ряде её положений.

Поверхность называется коноидом если одна из направляющих прямая линия, а другая – криволинейная (рисунок 5.17 б).

Построение поверхности коноида аналогично построению поверхности цилиндроида и детального её рассмотрения нет необходимости.

 

 

а)

 

б)

 

Рисунок 5.17

 

Линейчатая поверхность называется косой плоскостью (гиперболический параболоид), если обе направляющие прямые линии (скрещивающиеся) и образующие параллельны некоторой плоскости параллелизма.

Рисунок 5.18

 

Таким образом, косая плоскость может рассматриваться как частный случай цилиндроида или коноида. Если направляющие а и b будут не скрещивающимися прямыми, а пересекающимися или параллельными, то косая плоскость выродится в обыкновенную плоскость, в которой лежат направляющие а и b.

На рисунке 5.18 изображена косая плоскость, направляющими которой являются прямые а и b, а плоскостью параллелизма – плоскость П1. Образующие этой косой плоскости являются горизонталями.

Необходимо заметить, что ту же самую косую плоскость можно получить, если принять за направляющие две любые образующие косой плоскости, а за плоскость параллелизма – плоскость, параллельную прямым а и b. Отсюда следует, что у косой плоскости имеются две серии прямолинейных образующих, при этом образующая каждой серии не пересекается ни с одной образующей той же серии и пересекает все образующие второй серии.



Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме ее прямолинейных образующих, параболу и гиперболу, то эту поверхность называют также гиперболический параболоид (рисунок 5.10). Заметим, что на рисунке 5.18 горизонтальным очерком этой поверхности является парабола. Косая плоскость, или гиперболический параболоид, является поверхностью второго порядка.

Построение линии пересечения цилиндроида с плоскостью общего положения (рисунок 5.19): цилиндроид задан двумя направляющими m и n, а также плоскостью параллелизма параллельной П1.Плоскость общего положения задана двумя пересекающимися прямыми a (aÇb). Линия пересечения строится по точкам пересечения фронтально проецирующей плоскости S2 (след, которой совпадает с образующими цилиндроида), которая одновременно пересекает цилиндроид и плоскость общего положения a. След плоскости S параллелен плоскости параллелизма DП1. Цилиндроид и плоскость пересекаются по прямым линиям d и c. На горизонтальной плоскости проекций прямые (d и c) пересекаются как прямые, лежащие в одной плоскости. Точки пересечения которых принадлежат линии пересечения l. Для нахождения точек пересечения необходимо провести ряд вспомогательных проецирующих плоскостей (S) параллельных плоскости параллелизма DП1.

 

Рисунок 5.19


* Бельгийский ученый Е. Catalan.





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...