Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тема 7. Елементи інтегрального числення.



Лекція 1..

При досліджені функцій, як математичного моделей, детермінованих моделей, важливу роль відіграє швидкість зміни цих функцій, прискорення тощо.

Наприклад. Оцінюючи могутність держави розглядають ВВП (на усю країну), або ВВП на душу населення.

ВВП України в 1999р. – 109,5 млрд. $.

ВВП на душу населення - 2200 $

Тут нас цікавить зміна показників, наприклад, приріст. Але ця величина абсолютна. Нам треба мати відносні величини – приріст функції до приросту аргументу.

 

Поняття функції

Визначення. Нехай Х та У - деякі числові множини і нехай кожному елементу хÎ Х за будь-яким законом f поставлено у відповідність один елемент уÎ У. Тоді будемо говорити, що визначена функціональна залежність у від х за законом y = f(x). При цьому х називають незалежною змінною (або аргументом), у - залежна змінна, множина Х - область визначення (існування) функції, множину У - областю значень (змін) функції.

Способи задання функцій:

n табличний;

n аналітичний;

n графічний.

 

Приріст аргументу та приріст функції

( довідковий матеріал)

Нехай х0 є деяке значення даної змінної величини. Наряду з х0 розглянемо інше значення х цієї змінної величини. Введемо наступне визначення.

Визначення1. Приростом деякої змінної величини називається різниця між новим значенням цієї величини та її попереднім значенням, тобто х - х0. Приріст незалежної змінної ( або приріст аргументу) позначається . Таким чином

Dх = х – х0 (1)

 

Визначення 2. З рівняння (1) випливає, що

 

х = х0 + D х ( 2 )

 

тобто первісне значення змінної отримало приріст . Відповідно значення функції зміниться на величину

 

f (x ) – f (x0 ) = f ( x0 + D x ) - f( x0 ) ( 3 )

 

Визначення 3. Різниця між новим значенням функції f(x0 + Dx) та первісним її значенням f(x0) називається приріст функції в точці х0 і позначається символом Df ( x0 ), тобто

 

D f ( x0 ) = f ( x0 + D x ) – f ( x0 ) ( 4 )

 

Визначення 4. Приріст функції f в даній точці х0 скорочено позначається через D f або D y.

 

y

 

 

f ( x0 + D x) D f

f (x )

D x

x

0 x0 x0 + Dx

 

Визначення 5. Поняття приріст функції та приріст аргументу дозволяють сформулювати ознаки зростання і спадання функцій.

Функція f(x) зростає на проміжку х тоді і тільки тоді, коли для будь-яких значень х0 і х0 + D х ( D х ¹ 0 ) з проміжку X виконується нерівність

 

.

 

Функція f (х) спадає на проміжку X тоді і тільки тоді, коли для будь-яких значень x0 та x0 + Dx (Dх ¹ 0 ) з проміжку X виконується нерівність



 

.

 

Приклад. Знайти приріст та D у в точці х0, якщо у = х2 , х0 = 2 , х = 2,1

 

D х = х – х0 = 1,9 – 2 = - 0,1

Dу = у ( х0 + D х ) – у ( х0 ) = у ( 2,1 ) – у ( 2 ) = (2,1) 2 - (2 )2 = 4,41- 4 =0,41.

 

 

Границі функції

Число b називається границею функції f(x) при x, яке наближається до a, якщо для будь – якого позитивного числа e знайдеться таке позитивне число d, що при усіх x ¹ a, які задовольняють нерівності | x – a |< b, справедлива нерівність

| f ( x ) – b | < e.

При цьому запис буде такий

.

 

Теорема. Якщо функція f (x) має границю при х® а, то ця границя єдина.

 

Теореми (про границі суми, добутку та частого).

Якщо при х® а існують границі функцій f i g, то:

 

1) ( f (x) + g (x)) = f (x) + g (x);

2) ( f (x ) + g ( x )) = f (x) × g (x);

 

3) , де g (x) ¹ 0.

 

Неперервність функції

1. Функція f (x) називається неперервною у точці х0, якщо вона визначена в деякому околі цієї точки і якщо границя функції при х® х0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

f (x) = f (x0 )

2. Функція f(x), неперервна в кожній точці заданого проміжку, називається неперервною на всьому проміжку.

 

3. Будь–яка раціональна функція неперервна при усіх значеннях незалежної змінної при котрих вона визначена.

 

4. Якщо функція, визначена в деякому околі точки x0,, а в точці x0 не визначена або її границя в точці х0 не дорівнює значенню функції в цій точці, то можемо сказати, що функція має розрив в точці х0 , а точку х0 називають точкою розриву.

( наприклад: функція у = неперервна в будь–якій точці х ¹ 0, а в точці

х = 0 вона має розрив).

Визначення похідної.

 

Похідною функції f(x) в точці х0 називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при Dх ® 0 ( якщо ця границя існує ).

Для позначення похідної функції Dх застосовують наступні символи

у’(x0) або f’(x0)

(5).

 

Якщо в деякій точці x0 границя (5) нескінченна

 

то в точці х0 функція f (x) має нескінченну похідну.

Якщо функція f(x) має похідну в кожній точці множини Х, то похідна f’(x) також є функцією від аргументу x, визначеної на X.

Розділ математики, що вивчає знаходження похідних функцій називається диференційним численням, а обернена їй задача знаходження первісної функції f (x) по відомій похідній складає предмет інтегрального числення.

Диференційне числення та інтегральне числення об’єднується одним загальним поняттям – математичний аналіз.

Приклад.

Знайдемо похідну функції f (x) = x2

f ( x +D x ) = ( x + D x )2 = x2 +2x D x + (D x)2

D y = [ x2+2x D x + (D x)2 ] – x2 = 2x D x + (D x)2

 

y’ =


Основні формули диференціювання

 

Функція у   Похідна у ‘ Функція у Похідна у’
С = const x xn ex ax ln x log a x 0 1 nx n – 1 - ex ax ln a sin (x) cos (x) tg (x) ctg (x) arcsin (x) arccos (x) arctg (x) arcctg (x) cos (x) - sin (x) - - -

 

e= (1+ )n=2,718…»2,72

 

 

Загальні правила диференціювання

 

Если , , где и – взаимно обратные функции, то , где
(Функція, задана параметрично .)
Частні випадки   Похідна складної функції Нехай дана складна функція ( функція від функції ) у = f [g(x)] звідси U = g (x) має у деякій точці х похідну U’ = g’ (x), a функція у = f (U) y відповідній точці U похідну y’u = f’(U). Тоді y’x = f’(U) g’ ( x) або y’x = yu’ * Ux  

 

 

Степені та логарифми

 

 

Диференціал

Нехай функція у = f ( x ) диференційована при деякому значенні змінної х, тоді

.

За означенням границі:

, a ® 0.

Тоді D y = y’D x+a D x

Тобто, приріст функції складається з двох доданків, один з яких залежить від D x лінійно, а другий містить степені D x,, вищі за перший.

Означення. Диференціалом функції називається головна частина її при-росту, лінійна щодо приросту аргументу:

dy = y’ D x = f ‘(x) D x

Якщо f ( x) = x, то dx = 1D x, тобто dx = D x.

Приклад. Знайти диференціал функції

y = ln ( x2 +1).

Розв’язок.

тоді

.

Властивості диференціала аналогічні властивостям похідної

1. dC = 0

2. d (U + V ) = dU +dV

3. d ( UV ) = VdU + UdV

4. .

Тема 7. Елементи інтегрального числення.

Лекія 2

Диференціювання та інтегрування – взаємно зворотні операції.

Визначення. Функція F(X) називається первісною функцією для функції f(x) або інтегралом від f(x), якщо f(x) є похідною функції

 

F(x) - f(x) =F’ (x).

 

Знаходження первісної функції називається інтегруванням (а весь комплекс зв’язаний з цим питанням – інтегральним численням ). Ця задача є зворотною для диференціювання.

 

Пряма задача: Зворотна задача:

диференціювання інтегрування:

F (x) ® f ‘(x) f ( x ) = F’(x) ® F(x)

 

Якщо F(x) є первісною для f(x), то вираз F(x) + C називають невизначеним інтегралом від f(x) і позначають

 

,

де

F(x) – підінтегральна функція

F(x)dx – підінтегральний вираз

x – змінна інтегрування

– знак інтеграла

C – const

 

Приклад.

F‘(x) = 3 x2,

 

Розв’язок: .

 

Знайдена первісна відрізняється одна від одної на величину С.

Приклад. Ця первісна функція не єдина, так як y’ = ( х3 +1 )’ = -3x2,

y’ = ( x3 - 5 )’ = 3x2 і т.д.

Отже, дана функція має нескінченну множину первісних

µ< C < +µ.

 

Властивості невизначеного інтегралу

1. Основна властивість невизначеного інтегралу, яка випливає з визначення

 

= F(x) + C

 

2. Якщо дві функції тотожні, то невизначені інтеграли від них можете відрізнятися лише на постійну складову

.

3. Знаки та d , що стоять поряд взаємно знищуються

d .

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

 

f(x )dx = a dx.

5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або більше функцій дорівнює сумі(різниці) інтегралів

 

.

 

Таблиця основних інтегралів.

 

1. dx = C

2. dx =

3. dx = ln | x | + C

4. dx = ex + C

5.

6. x dx = - cos x + C

7. x dx = sin x + C

8. dx = tg x + C

9. dx = - ctg x + C

10. = arcsin x + C = - arcos x + C.

 

Способи інтегрування

 

1. Безпосереднє інтегрування - це спосіб, при якому інтеграл вдається привести до одного чи декількох табличних інтегралів шляхом елементарних тотожних перетворень підінтегрального виразу

 

 

2. Інтегрування методом підстановки. В багатьох випадках можна спростити, якщо замість х ввести нову змінну t, тобто x=φ (t)

dx =φ’ ( t ) dt

Тоді

Приклад.

=

t = x-1

x = t+1

dx = dt

 

 

Зауваження:

1. Якщо підінтегральна функція має вигляд f(ax + b), то корисною є підстановка ax + b = t.

2. Якщо підінтегральний вираз можна розкласти на два співмножники і в одному з них можна легко розпізнати диференціал деякої функції φ(х), то корисною є підстановка t = φ(x).

 

Інтегрування по частинам

 

Нехай U = f (x), V = g (x) - функції від х, які мають неперервні похідні

U = f ‘ (x) та V = g’ (x). Тоді за правилом диференціювання

d (UV) = UdV + VdU

або

UdV = d (UV) – VdU

 

тоді

кінцева формула

 

Ця формула виражає правило інтегрування по частинам.

 

Приклад.

U=x

dV=sin x dx

V=-cos x

V=-cos x.

Визначений інтеграл.

 

Розглянемо функцію f (x), задану на відрізку [a, b]

 

f (x)

 

 

       
 
 
   

 


а в x

 

 

Знайдемо площу під цією кривою. Ця площа визначається інтегралом від а до в

I =

де F (x) – первісна.

 

Різниця значень при х = в та х = а будь-якої первісної для f (x) називається визначеним інтегралом.

 

Це основна формула інтегрального числення, або формула Ньютона – Лейбница.

Фізичний зміст визначеного інтеграла – площа під інтегральною кривою.

 

Основні властивості визначеного інтеграла

1. При заміні місцями верхньої та нижньої границі інтегрування визначений інтеграл змінює знак.

2. Для любих трьох чисел а, в, с справедлива рівність

.

3. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування (величина інтеграла залежить від його границь)

4. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла

5. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функції дорівнює алгебраїчній сумі цих визначених інтегралів.

 

6.

 

Приклад.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...