Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение пучка прямых



Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.

Если A1x + B1y + С1 = 0 и А2 х + В2 у + С2 = 0 — уравнения двух пря­мых, пересекающихся в точке S, то уравнение

a 1х + В1у + С1) + b 2х + В2у + С2) = 0, (1)

где a, b — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа a, b всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром S).

Если a ¹ 0, то, деля обе части уравнения (1) на a и полагая

получим:

A1x+Bly + C1 + l(A2x + B2y + C2) = 0. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует a = 0, т. е. кроме прямой (A2x + B2y + C2) = 0.

353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением

a (2х+3у— 1) + b(х — 2у — 4) = 0.

354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых

a (х + 2у —5) + b (3х —2у+1) = 0 и

1) проходящей через точку А(3; —1);

2) проходящей через начало координат;

3) параллельной оси Ох;

4) параллельной оси Оу;

5) параллельной прямой 4х + 3у — 5 = 0;

6) перпендикулярной к прямой 2х + 3у + 7 = 0.

355. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пере­сечения прямых

3х —2у + 5 = 0, 4х + 3у—1=0

и отсекающей на оси ординат отрезок b = — 3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

356. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых

2х + у —2 = 0, х —5у —23 = 0

и делит пополам отрезок, ограниченный точками М1(5; 6) и М2(—1; —4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пере­сечения данных прямых.

357.Дано уравнение пучка прямых

 

a(3х—4у—3) + b(2х + 3у—1) = 0.

 

Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А(—1; 2), В(4; —4) и С(6; —1).

358.Дано уравнение пучка прямых

 

a (3х — 2у— 1) + b (4х — 5у + 8) = 0.

 

Найти прямую этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой

х + 2у + 4 = 0,

заключённого между прямыми

2х + 3у + 5 = 0, х + 7у — 1 = 0.

359.Даны уравнения сторон треугольника

х + 2у — 1 = 0, 5х + 4у—17 = 0, х — 4у + 11 = 0.

Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

360.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пере­сечения прямых

2x + 7y — 8 = 0, 3х + 2у + 5 = 0

под углом в 45° к прямой



2х + 3у —7 = 0.

Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

361. В треугольнике ABC даны уравнения высоты AN: x + 5y — 3 = 0, высоты BN: х + у — 1 = 0 и стороны АВ: х + 3у — 1 = 0. Не опре­деляя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.

362. Составить уравнения сторон треугольника ABC, зная одну его вершину А(2; — 1), а также уравнения высоты

7х — 10у + 1 = 0

и биссектрисы

3х — 2у + 5 = 0,

проведённых из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя коор­динат вершин В и С.

363.Дано уравнение пучка прямых

a(2х + у + 8) + b(х + у + 3) = 0.

Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключённые между прямыми

ху —5 = 0, ху —2 = 0,

равны /5.

364. Дано уравнение пучка прямых

a(3х + у — 1) + b(2х у — 9) = 0.

Доказать, что прямая

х + 3у + 13 = 0

принадлежит этому пучку.

365.Дано уравнение пучка прямых

a(5х + 3у + 6) + b(3х — 4у — 37) = 0.

Доказать, что прямая

7х + 2у — 15 = 0

не принадлежит этому пучку.

366.Дано уравнение пучка прямых

a(3х + 2у — 9) + b (2х + 5у + 5) = 0.

Найти, при каком значении С прямая

4х —3у + С = 0

будет принадлежать этому пучку.

367.Дано уравнение пучка прямых

a(5x + 3у —7) + b(3х + 10у + 4) = 0.

Найти, при каких значениях а прямая

aх + + 9 = 0

не будет принадлежать этому пучку.

368. Центр пучка прямых

a(2х — 3у + 20) + b(3х + 5у — 27) = 0

является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой

х+7у—16 = 0.

Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

369. Дано уравнение пучка прямых

a(2х+5у + 4) + b(3х —2у+25) = 0.

Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).

370. Дано уравнение пучка прямых

a(2х+у+1) + b(х — 3у— 10) = 0.

Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).

371. Дано уравнение пучка прямых

a(21х + 8у— 18) + b(11ху+12) = 0.

Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед.

372. Дано уравнение пучка прямых

a(2х+у + 4) + b(х —2у —3) = 0.

Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2;3) на расстоянии d = . Написать уравнение этой прямой.

373. Дано уравнение пучка прямых

a(2х у — 6) + b(х у — 4) = 0.

Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; —1) на расстоянии d = 3.

374. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пере­сечения прямых 3х+у — 5 = 0, х — 2у+10 = 0 и отстоящей от точки С(— 1; —2) на расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

375. Дано уравнение пучка прямых

a(5х + 2у + 4) + b(х + 9у — 25) = 0.

Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми

2х—3у + 5 = 0, 12х + 8у —7 = 0

образуют равнобедренные треугольники.

376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых

11х + 3у —7 = 0, 12х+у—19 = 0

на одинаковых расстояниях от точек А(3;2) и В(—1; 6). Ре­шить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

377.Даны уравнения двух пучков прямых

a1(5x + 3y — 2) + b1(3ху — 4) = 0,

a2(ху+1) + b2(2ху —2) = 0.

Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принад­лежащей обоим пучкам.

378.Стороны АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD заданы соответственно уравнениями

5х+у+13 = 0, 2х —7у—17 = 0,

3х+2у—13 = 0, 3х—4у+17 = 0.

Не определяя координат вершин этого четырёхугольника, составить уравнение его диагоналей АС и BD.

379. Центр пучка прямых

aа(2х + 3у + 5) + b(3ху + 2) = О

является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями

х — 4у + 1=0, 2х + у + 1= 0.

Составить уравнения сторон этого треугольника.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...