Главная Обратная связь

Дисциплины:






Центральной линии второго порядка

Пусть дано уравнение

Ax2 + 2Bxy + Су2 +2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

определяющее центральную линию второго порядка ( = АС — В2 ¹ 0). Пере­нося начало координат в центр S (х„; ус) этой линии и преобразуя уравне­ние (1) по формулам

получим;

, (2)

Для вычисления можно пользоваться формулой

Или

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи преобра­зования координат

(3)

соответствующего повороту осей на угол α.

Если угол α выбран так, что (4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(5)

где .

З а м е ч а н и е. Уравнение (4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотно­шения:

,

которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобразования координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если о > 0, гипер­болическим, если 5<0, и параболическим, если 6 = 0.

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновен­ного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет ни­какого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную ги­перболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).

*) То-есть установить, какие из них являются эллиптическими, какиегиперболическими и какие параболическими.

673. Определить тип каждого из следующих уравнений *); каж­дое из них путём параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 2 + 9y2 — 40х+ 36у + 100 = 0;

2) 2—16у2 —54х — 64у — 127 = 0;

3) 2 + 4у2 + 18х — 8у + 49 = 0;

4) 2 — у2 + 8х — 2у + 3 = 0;

5) 2 + 3y2 + 8х — 6у + 11=0.

Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометри­ческие образы они определяют, и изобразить на чертеже располо­жение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 32х2 + 52ху — 7у2 + 180 = 0;

2) 2 — 6ху + 5у2 — 32 = 0;

3) 17х2 — 12ху + 8у2 = 0;

4) 2 + 24ху — 5у2 = 0;

5) 2 — 6ху + 5у2 + 8 = 0.

675. Определить тип каждого из следующих уравнений при по­мощи вычисления дискриминанта старших членов:

1) 2+10ху+12у2 —7х + 18у —15 = 0;



2) 2 — 8ху + 7у2 + 8х — 15у + 20 = 0;

3) 25х2 — 20ху + 4у2 — 12х + 20у —17 = 0;

4) 2 + 14ху + 11у2 + 12х — 7у + 19 = 0;

5) х2 — 4ху + 4у2 + 7х — 12 = 0;

6) 2 — 2ху — 3у3 + 12у — 15 = 0.

676. Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометри­ческие образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других Координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и гео­метрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 3х2+10ху + 3у2 —2х—14у—13 = 0;

2) 25х2 — 14ху + 25y2 + 64х — 64у — 224 = 0;

3) 4ху + 3у2 + 16х + 12у — 36 = 0;

4) 2 + 6ху — у2 + 28х + 12у + 28 = 0;

5) 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = 0;

6) 2 — 2ху + 5у2 — 4х + 20у + 20 = 0.

677. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

1) 14х2 + 24ху + 21у2 — 4х+18у—139 = 0;

2) 11х2 —20ху —4у2 —20х—8у+1=0;

3) 2 + 60ху + 32у2 — 14х — 60у + 7 = 0;

4) 50х2 — 8ху + 35у2 + 100х — 8у + 67 = 0;

5) 41х2 + 24ху + 34у2 + 34х — 112у + 129 = 0;

6) 29х2 —24ху+36у2 + 82х—96у —91=0;

7) 2 + 24ху + 11у2 + 64х + 42у + 51 = 0;

8) 41х2 + 24ху + 9у2 + 24х+18у —36 = 0.

678. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти вели­чины его полуосей:

1) 41х2 + 24ху + 9у2 + 24х+18у —36 = 0;

2) 2 + 4ху + 5у2 + 16х + 4у — 28 = 0;

3) 13х2 + 18ху + 37у2 — 26х — 18у + 3 = 0;

4) 13х2+10ху+13у2 + 46х + 62у+13 = 0.

679. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти её координаты:

а) 2 — 6ху + 2у2 — 2х + 2 = 0;

б) х2 + 2ху + 2у2 + 6у + 9 = 0;

в) 2 + 4ху + у2 — 6х — 2у + 2 = 0;

г) х2 — 6ху + 10у2 + 10х — 32у+ 26 = 0.

680. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины её полуосей:

1) 2 + 24ху + 11у2 + 64х + 42у + 51=0;

2) 12х2 + 26ху + 12у2 — 52х — 48у + 73 = 0;

3) 2 + 4ху — 12х + 16 = 0;

4) х2 — 6ху — 7у2 + 10х — 30у + 23 = 0.

681. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

а) 2 + 4ху + у2 — 2х — 1=0;

б) х2 — 6ху + 8у2 — 4у — 4 = 0;

в) х2 — 4ху + 3у2 = 0;

г) х2 + 4ху + 3у2 — 6х — 12у + 9 = 0.

682. Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

1) 2—12ху+17у2+16х—12у + 3 = 0;

2) 17х2 —18ху —7у2 + 34х—18у + 7 = 0;

3) 2 + 3ху — 2у2 + 5х + 10у = 0;

4) 2 —6ху + 9у2 —4х+18у+14 = 0;

5) 2 —2ху + 5у2 —4х + 20у + 20 = 0.

683. Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( > 0) определяет эллипс в том и только в том случае, когда А и суть числа разных знаков.

685. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( > 0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.

686. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( > 0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда = 0.

687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( < 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .

688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( < 0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда = 0.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...