Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение поверхности



 

Уравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) на­зывается такое уравнение с тремя переменными

Р(х, у, z)=0,

которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой по­верхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

885.Даны точки М1(2; —3; 6), М2(0; 7; 0), М3(3; 2; —4), М4(2 ; 4; — 5), М5(1; —4; —5), М6(2; 6; — ). Установить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением х2 + у2 + 22 = 49, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением?

886. На поверхности ха + уа + r2 = 9 найти точку, для кото­рой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2; 2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4) орди­ната равна 2, апликата равна 4.

887. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:

1) х = 0; 2) у = 0; 3) z = 0; 4) х —2 = 0;

5) y + 2 = 0; 6) z + 5 = 0; 7) х3 + у2 + z2 = 25;

8) (х — 2)2 + (у + 3)2 + (z — 5)2 = 49;

9) х2 + 2у2 + 3z2 = 0; 10) х2 + 2у2 + 3z2 + 5 = 0;

11) х — у =0; 12) х + z = 0; 13) у — 2 = 0; 14) ху = 0;

15) хz = 0; 16) yz = 0; 17) хуz = 0; 18) х2 —4х = 0;

19) ху — уа = 0; 20) уz + z 2 = 0.

888. Даны две точки F1(—с; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести урав­нение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная при усло­вии а>0, с>0; а>с.

Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое по­ложение, то х, у и zявляются переменными величинами; их называют те­кущими координатами.

Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда

MF1 + MF2 = 2a. (1)

Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF1и MF2 — j через текущие координаты точки М:

MF1 = , MF2 = .

Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы най­дём уравнение

(2)

которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение дан­ной поверхности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде.

Уединим в уравнении (2) первый радикал:

возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы по­лучим:



x2 + 2cx2+y2 + z2 =

= 4а2 — 4а

или а

Снова, освобождаясь от радикала, найдём:

a2x2 — 2a2cx + а2с2 + a2 y2 + a2 z2 = a4 — 2а2сх + с2x2,

или

(а2с2) х2 + a2y2 + a222 = а22 — с2). (3)

Так как а > с, то а2с2 > 0; положительное число a2с2 обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид

b2x2 + а2y + a2z2 = a2b3

или

Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Урав­нение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.

 

889. Вывести уравнение сферы, центр которой находится в на­чале координат и радиус которой равен г.

890. Вывести уравнение сферы, центр которой С(α; β; γ) и ра­диус которой равен r.

891. Из точки Р(2; 6; —5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометриче­ского места их середин.

892. Из точки А(3; —5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить уравнение геометриче­ского места их середин.

893. Из точки С(—3; —5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометриче­ского места их середин.

894. Вывести уравнение геометрического места точек, раз­ность квадратов расстояний которых до точек F1(2; 3;— 5) и F2(2;— 7; —5) есть величина постоянная, равная 13.

895. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух точек F1(— а; 0; 0) и F2(а; 0; 0) равна постоянной величине 4а2.

896. Вершины куба суть точки А(— а; — а; — а), В(а; —а; —а), С(—а; а; —а) и D(a; а; а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная 8а2.

897. Вывести уравнение геометрического места точек, равно­удалённых от двух точек М1(1;2; —3) и M2(3; 2; 1).

898. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(0; 0; — 4) и F2(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.

899. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(0; — 5; 0) и F2(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...