Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей



 

Уравнение с двумя переменными вида

F(х, у) = 0

в пространственной системе координат определяет цилиндрическую поверх­ность с образующими, параллельными оси Qz. На плоскости в системе коор­динат с осями Ох и Оу уравнение F (x, y) = Q определяет линию, именно, направляющую линию рассматриваемого цилиндра. Но эта же линия в про­странственной системе координат должна быть задана двумя уравнениями:

Аналогично: уравнение F(х, z) = 0

(в пространстве) определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу, уравнение F(y, г) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох.

910. Установить, какие геометрические образы определяются в пространственной системе координат следующими уравнениями:

1) x2+z2 = 25; 2) ; 3) 4) х2 = 6z;

5)х2 — ху = 0; 6)х2 —z2 = 0; 7)y2 + z2 = 0;

8) х2 + 4у2 + 4 = 0; 9)х2 + z2 = 2z; 10)y2 + z2 = —z.

911. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность:

на плоскость: 1) Оху; 2) Охz; 3) Oyz.

912. Найти уравнения проекции окружности:

на плоскости 1) Оху; 2) Охz; 3) Oyz.

 

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,

Проходящей через данную точку и имеющей данный

Нормальный вектор

 

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение

А(х — xо) + В(у — yо) + С(z — zz0) = 0 (1)

определяет плоскость, проходящую через точку М00; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}.

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах0 — Ву0,Сz0 буквой D представим его в виде:

Ах + By + Cz + D = 0.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n ={1, —2; 3}.

914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; —3}.

915. Точка Р (2; —1; —1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравне­ние этой плоскости.

916. Даны две точки М1(3; —1; 2) и М2(4; —2; —1). Соста­вить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендику­лярно к вектору .

917. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3;4; —5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; —1} и a2 = {1; —2; 1}.

918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М00;у0;z0) параллельно двум векторам



a1 = {l1; m1; п1;} и a2 = {l2; m2; п2;}

может быть представлено в следующем виде:

= 0

919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; — 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; — 1; —4}.

920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) параллельно вектору

а = {1; т;},

может быть представлено в следующем виде:

= 0

921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (3; — 1; 2), М2 (4; — 1; — 1) и М3 (2; 0; 2).

922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки:

М111;z1) М222;z2) М333;z3)

может быть представлено в следующем виде:

= 0

923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:

1) 2х—у — 2z + 5 = 0; 2) х + 5у — z = 0;

3) 3х —2у —7 = 0; 4) 5у —3z = 0; 5)х + 2 = 0;

6) у — 3 = 0.

924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2х — 3у + 5z — 7 = 0, 2х — 3у + 5z + 3 = 0;

2) 4х+2у —4z + 5 = 0, 2х + у + 2z—1=0;

3) х—3z +2 = 0, 2х —6z — 7 = 0.

925. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3ху — 2z — 5 = 0, х + 9у — 32 + 2 = 0;

2) 2х + 3у —2 —3 = 0, х — уz + 5 = 0;

3) 2х —5у + z = 0, х + 22 —3 = 0.

926. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

1) 2х + + 3z — 5 = 0, —6у —6z + 2 = 0;

2) 3ху + lz — 9 = 0, 2х + + 2z —3 = 0;

3) mx + 3у — 2z — 1=0, 2х— 5у lz = 0.

927. Определить, при каком значении l следующие пары урав­нений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3х — 5у+ lz — 3 = 0, х + 3у + 2z + 5 = 0;

2) 5х + у — 32 — 2 = 0, 2х + — 3z+ 1 = 0;

3) 7х — 2у — 2 = 0, + у — 3z — 1 = 0.

928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:

1) х у + z — 1 = 0, х + у z + 3 = 0;

2) 3уz = 0, 2у + z = 0;

3) 6х + 3у — 2z = 0, х + 2у + 6z — 12 = 0;

4) х + 2у + 2z — 3 = 0, 16х+12у — 15z — 1 = 0.

929. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5х — 3у + 2z — 3 = 0.

930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; —2; —7) параллельно плоскости 2х — 3z + 5 = 0.

931. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2х у + 3z — 1=0, х + 2у + z = 0.

932. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; —1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2хz + 1 = 0, у = 0.

933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) перпендикулярно к плоскостям

А1х + В1у + С1z + D1 = 0, A2x + В2у + С2z + D2 = 0,

может быть представлено в следующем виде:

 

 

934. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; —1; —2) и M2(3; 1; 1) перпендикулярно к пло­скости х — 2у + 3z — 5 = 0.

935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М11; y1; z1 ) и M2(x2; у2; z2) перпендикулярно к плоскости

Ax + By + C2 + D = 0,

может быть представлено в следующем виде:

=0.

936. Установить, что три плоскости х — 2у + z— 7 = 0, 2х + уz + 2 = 0, х—3y+2z—11 = 0 имеют одну общую точку, и вычислить еe координаты.

937. Доказать, что три плоскости 7х + 4y + 7z + 1 = 0, 2х у — 2 + 2 = 0, х + 2у + 32 — 1 = 0 проходят через одну прямую.

938. Доказать, что три плоскости 2ху + 3z— 5 = 0, 3х + у + 2z — 1 = 0, 4х + 3у + z + 2 = 0 пересекаются по трём различным параллельным прямым.

939. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х у + 3z — 1 = 0, х + 2уz + b = 0, х + ау —6z + 10 = 0:

1) имеют одну общую точку;

2) проходят через одну прямую;

3) пересекаются по трём различным параллельным прямым.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...