Главная Обратная связь

Дисциплины:






Приложение 2. Математика когнитивных моделей



Ниже перечислены некоторые возможные математические интерпретации когнитивных карт. Выбирались только те, которые достаточно разработаны в литературе.

Мягкие математические модели. Вариант первый — когда все факторы имеют естественное количественное измерение и их взаимодействие мы тоже можем выразить в виде формулы, быть может, с набором параметров. Это лучший случай, поскольку можно применить всю мощь математики. К примеру, экосистема «хищник – жертва», карта которой состоит из двух вершин и четырех ребер, описывается знаменитой моделью Лотка-Вольтерра борьбы за существование [14, гл.3]. Математическими методами можно прогнозировать развитие ситуации и анализировать устойчивость полученного решения.

Существенным плюсом этих методов является «полное» описание ситуации во времени, т.е. можно оценивать тенденции развития ситуации и строго отделить изменения, носящие необратимый характер, от колебательных изменений. К примеру, жесткая модель Лотка-Вольтерра имеет как раз колебательное решение, т.е. количества хищников и жертв меняются по циклу. В то же время математические модели, возникающие при расчетах бизнес-планов, как правило, имеют экспоненциальную асимптотику (тут они выходят за область релевантности).

Существенным минусом является то, что математика работает все-таки с достаточно простыми моделями. Если система достаточно сложна, то описать все ее возможные решения математика (математики) бессильна, возможно только численное моделирование.

Модель суммирования воздействия факторов. Обычно у нас нет реального механизма взаимодействия факторов, он как раз и описывается нечетко, словами. Тут мы вольны выбрать подходящую математическую модель и посмотреть, получится близко к здравому смыслу или нет. Теперь уже можно забыть о реальных единицах измерения факторов и привести их к чему-то единому. Чаще всего взаимодействие факторов экспертом описывается так: «При значительном возрастании фактора А фактор Б незначительно убывает». Где тут единицы измерения? Нет их. Поэтому можем попытаться вывести закон вида «Если значение фактора k возрастает на Xk процентов, то значение фактора m убывает на Xm процентов», что выражается формулой

(Формула 1)

То есть все взаимодействия факторов модели определяются только матрицей смежности вершин ориентированного графа W=(Wmk). Разумеется, если на когнитивной карте ребро из вершины k в вершину m отсутствует, то Wmk=0 . Фактически мы каждому ребру графа кроме знака приписали его вес. То, что получилось, называется взвешенным ориентированным графом.

Обычно требуют, чтобы –1≤ Wmk ≤+1. Это соответствует тому, что анализируемая система инерционна, т.е. изменение какого-либо фактора не производит больших изменений в других факторах.



Более жестким требованием является устойчивость системы к разовому локальному воздействию, т.е. невозможны события типа «спусковых крючков», когда одно небольшое воздействие приведет к разносу всей анализируемой системы. Конечно, в реальности такие ситуации возможны — вызвал же выстрел Гаврилы Принципа первую мировую войну — но они явно за пределами нашего опыта (как мы заранее сможем верифицировать такую когнитивную карту?). Более жесткое требование к модели заключается в том, чтобы любое такое воздействие постепенно затухало. Это предполагает, что почти любое состояние системы является устойчивым, что, вообще говоря, неверно. Но это не должно нас останавливать — в конце концов, это всего лишь страхует нас от неустойчивости модели, а имитационная модель, построенная на достаточно шатких и не слишком объективных основаниях, и не может быть слишком хороша. Там, где возможны строгие математические модели, разумеется, они предпочтительнее.

Достаточным условием затухания последствий единичного воздействия является то, чтобы отображение вектора значений факторов в момент времени t в их значения в момент времени t+1 было сжимающим.

Для дальнейшего анализа нам надо рассмотреть модель коллективного воздействия нескольких связей на фактор. Т.е. если у нас в одну вершину входят несколько стрелок, то как взаимодействуют изменения по каждой стрелке — суммируются? Перемножаются? Или действует иной закон? Вообще говоря, однозначного ответа на этот вопрос быть не может. Как мы отмечали ранее, все взаимодействие изменений факторов в момент времени t+1 полностью определяется матрицей смежности W ориентированного графа и вектором изменений факторов в момент времени t:

(Формула 2)

Заметим, что модель «хищник–жертва» таким законом не описывается, там изменения факторов зависят не от изменений, а от самих значений факторов.

В работе [8] рассматривается наиболее простая интерпретация — суммирование:

(Формула 3)

(Формула 4)

Это вполне соответствует физическому миру, закону суммирования сил. Для исследования таких уравнений существует линейная алгебра. Проверка того, что это отображение является сжимающим, легко считается (заметим, что в работе [8] приведено более жесткое требование, чем необходимо для сжатости отображения).

Если хочется поупражняться на цифрах, то в Excel’е это легко можно сделать (см. пример в гл. 6).

Модель нелинейного взаимодействия факторов. Выше мы рассмотрели линейную модель формулы 2, но возможны и иные. Если линейная модель явилась продолжением аналогии физического мира (суммирование сил), то можно рассмотреть психологические модели. Возможная модель — мы учитываем влияние всех действующих факторов, но руководствуемся самым сильным из них. Этот принцип имеет и другую интерпретацию — когда мы экспертно оценивали силу воздействия причины на следствие, мы считали, что остальные факторы не действуют. Но в реальности такого не бывает и наша интуиция предполагает, что остальные причины действуют, но малы. Т.е. выведенная нами сила воздействия уже учитывает некий суммарный результат всех причин при условии, что остальные причины малы. Тогда формула 2 приобретет вид

, где N это такое k, при котором достигается (Формула 5)

В этом случае условием сжатости отображения будет –1< Wmk <+1, что уже есть по построению модели. Данная интерпретация рассмотрена в работах [5–6].

Как было сказано ранее, часто наши рассуждения о взаимодействии факторов являются нечеткими, приблизительными. Но тогда и выводы будут также приблизительными. Для того, чтобы оценить достоверность выводов, существуют механизмы нечеткой логики [16]. В работах [5–6] предложен механизм оценки достоверности получаемых выводов на основе модели. Для этого рассчитывается значение консонанса по формуле

(Формула 6)

(Формула 7)

(Формула 8)

Значение консонанса означает уверенность в выводе, соответствие ожидаемой и полученной информации. Чем больше значение консонанса, тем лучше. Максимальная уверенность =1 достигается, когда нет факторов, действующих в разных направлениях; минимальная =0 — когда есть примерно равные по силе противоположные воздействия.

Заметим, что указанный метод оценки консонанса можно применить и для линейного случая (формула 4). Тогда расчет консонанса должен вестись по формуле

(Формула 9)

Интерпретация та же, но относящаяся не к максимальному положительному и отрицательному воздействию, а к суммарному положительному и суммарному отрицательному воздействиям.

Интервалы значений консонанса могут иметь лингвистическую интерпретацию типа «Невозможно», «Возможно», «Достоверно» и т.д.

Заметим, что все это легко рассчитать средствами Excel.

И, в заключение рассмотрения математических интерпретаций, небольшое замечание о значениях матрицы смежности. Как мы видим, она существенным образом определяет поведение модели. Как можно найти значения весов ребер? Для линейной интерпретации (формула 4) одним из методов будет статанализ (уравнения линейной регрессии), для нелинейной модели нужна более изощренная статистика. Вместе с тем статметоды работают только там, где уже набрана достаточная историческая статистика системы, что есть далеко не всегда.

Другим методом расчета значений матрицы смежности является метод парных сравнений — «на фактор А сильнее действует фактор Б, чем фактор В». Более подробно об этом можно прочитать в [5].





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...