Главная Обратная связь

Дисциплины:






Найбільш ймовірна швидкість



Як вже було відмічено раніше, функція розподілу Максвела ¦(u) приймає максимальне значення при деякому значенні u = uн, де uннайбільш ймовірна швидкість молекул.

Для її знаходження продиференцюємо ¦(u) по u і похідну прирівняємо до нуля:

(45)

Порівнюючи вирази (39), (40) і (45), отримаємо такі співвідношення між , і :

= 1,09× = 1,22×

Як бачимо значення і близькі до .

На графіку функції розподілу f(u) всі характерні швидкості розташовані таким чином: uн< uсер < uкв (рис. 6). Як видно з графіка, функція розподілу має досить широкий максимум. Це відображає великий розкид в абсолютних значеннях швидкостей молекули, тобто великі флуктуації швидкості (і енергії) однієї молекули. Одна молекула - підсистема, яка містить мале число частинок, тому флуктуації великі.

Розглянемо підсистему з N частинками, тоді повна кінетична енергія системи Ек дорівнює:

З цих N часток частина молекул, що мають швидкості від u до u+du, в силу незалежності буде дорівнювати добуткові ймовірностей:

Ця імовірність має дуже різкий максимум як функція швидкості u, при цьому функція розподілу по швидкостях у системі дорівнює:

При великих швидкостях ця імовірність швидко спадає , а при малих поводиться як , таким чином у розподілі одержуємо різкий максимум.

Експериментальна перевірка закону розподілу молекул за швидкостями (метод молекулярних пучків)

Багато явищ у молекулярній фізиці залежить від швидкостей молекул, тому безпосереднє визначення цих швидкостей є дуже важливою задачею. Вперше її вирішив у 1920 році Отто Штерн. У дослідах Штерна використовуються молекулярні пучки – вузькі потоки молекул, які летять у вакуумі прямолінійно без зіткнень.

Розглянемо схему установки для отримання молекулярних пучків (рис 8). Джерелом частинок (атомів) є нагрітий метал у вигляді дроту А (платиновий дріт з напиленим шаром срібла). При проходженні електричного струму через дріт А, він нагрівається і випромінює атоми срібла (температура плавлення ~ 961,9°С).

Дріт розташовується уздовж циліндра, здатного обертатися навколо власної осі. Повітря всередині циліндра викачується до вакууму ~ 10 мм рт.ст., і атоми срібла, проходячи через вузьку діафрагму В, осаджуються на внутрішній поверхні циліндра, стінки якого охолоджуються для більш швидкого осадження срібла.

Коли циліндр нерухомий, то на внутрішній стінці циліндра появляється різке зображення щілини В в точці С. Якщо система обертається (уся система разом: циліндр, екран і дріт), тоді спостерігається зміщене і розмазане зображення щілини, наприклад у точці D. Тоді відстань між зображеннями С и D - S визначається як:



де w - кутова швидкість обертання циліндра, R - його радіус, а t - час проходження атомами срібла відстані L від точки В до поверхні циліндра: . Тоді деяку середню швидкість молекул можна знайти виходячи зі співвідношення:

Таким чином, вимірюючи відстань S зміщення молекулярного пучка, можемо визначити швидкість молекул.

Вже у 1920 році у дослідах Штерна було помічено, що місце (смужка) D, куди попадали молекули при обертанні зовнішнього циліндру було розмитим, на відміну від плями з чітко окресленими границями А при нерухомому положенні зовнішнього циліндру. Це означало, що атоми при однаковій температурі мають різні швидкості. Найбільша густина осадку була там, куди попадала найбільша кількість молекул, які мали однакову швидкість . Ця швидкість (найбільш ймовірна, яку мають найбільше число молекул) виявилась приблизно в 1/3 менше значення середньої квадратичної швидкості .

Безпосередньо закон Максвела був експериментально перевірений Штерном у тому ж 1920 році (пізніше, у1947 році Штерн разом з Істерманом і Сімпсоном провів більш досконалий дослід, а раніше у 1929 році аналітичні досліди провів Ламмерт).

Замість мішені на поверхні циліндру, що обертався, була використана скляна пластина. Судячи з прозорості плями, яка утворювалася при попаданні молекул на зовнішній циліндр, який рухався, можна було підрахувати кількість молекул, утворивших цю пляму, у різних її точках – Тобто так оцінювали розподіл швидкості , , ..., .


РОЗПОДІЛ БОЛЬЦМАНА ТА ЙОГО ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА. РОЗПОДІЛ МАКСВЕЛА-БОЛЬЦМАНА

Розподіл Больцмана

Повна енергія молекули газу, що знаходиться у зовнішньому потенціальному полі сил (наприклад, сили тяжіння), дорівнює:

.

Тоді при русі вгору молекули повинні витрачати кінетичну енергію на подолання сили тяжіння. Тому і середня кінетична енергія молекул і відповідно температура повинні зменшуватися. Але цього не відбувається внаслідок того, що не всі молекули можуть перебороти силу тяжіння. Молекули, що мають недостатню кінетичну енергію, не можуть піднятися високо, що приводить до зменшення їхньої концентрації з висотою. Тому температура газу залишиться незмінною.

Відповідно до барометричної формули атмосферний тиск спадає з висотою за законом:

(1),

де – тиск на висоті h від поверхні Землі; – тиск біля поверхні Землі (h=0).

Враховуючи, що для ідеального газу:

(2),

можна легко отримати формулу для концентрації молекул газу на висоті h:

(3)

Формулу (3) можна розуміти і дещо інакше. Величина mgh у (3) являє собою потенціальну енергію молекули на висоті h в однорідному гравітаційному полі. Отже, розподіл концентрації молекул за висотою h разом з тим є розподілом тих самих молекул за значеннями їхньої потенціальної енергії у полі сили тяжіння:

(3¢).

У розглянутому випадку потенціальна енергія залежить лише від однієї координати h º z. У загальному ж вигляді . Маємо всі підстави вважати, що формула (3¢) буде мати по суті той самий вигляд, якщо потенціальна енергія залежатиме від трьох просторових координат:

(4)

Ця формула має назву закону Больцмана.

Більш того, закон Больцмана (4) застосовують і тоді, коли залежить і від інших змінних, тобто коли молекули рухаються в потенціальному полі інших сил. Наприклад, потенціальна енергія частинок з магнітним моментом , що рухаються в однорідному магнітному полі з індукцією , дорівнює:

(5)

Для молекул з електричним моментом у електричному полі з напруженістю :

І тоді закон розподілу молекул за потенціальними енергіями (закон Больцмана) запишеться у вигляді:

(6)

Таким чином, закон Больцмана справедливий для будь-якого поля потенціальних сил. Зокрема, коли , розподіл Больцмана виражає концентрацію частинок n у точках простору , де їхня потенціальна енергія , – концентрація в точках, де 0.

Якщо відлік йде від точки де , тоді розподіл Больцмана має вигляд:

З формули (4) випливає, що:

1. частинки розташовуються з більшою густиною там, де їхня потенціальна енергія менша, і навпаки;

2. за даної температури (T=const) доля молекул n швидко зменшується зі зростанням Еп; це означає, що доля молекул n з дуже великою Еп завжди дуже мала;

3. легко отримати відношення концентрацій молекул п1 і п2 у точках простору, де потенціальна енергія має значення Еп1 і Еп2 відповідно:

(7)

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...