Главная Обратная связь

Дисциплины:






ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО



 

1). Формула Грина:

(граница L области G пробегается в положительном направлении).

2). Формула Стокса:

(контур L, ограничивающий поверхность S, пробегается в положительном направлении, согласованном с ориентацией поверхности).

Ротором вектора называется вектор

.

Таким образом, циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L:

.

3). Формула Гаусса - Остроградского:

(поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности S, ограничивающей область V).

Дивергенцией вектора называется скалярная величина

.

Таким образом, поток вектора через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора по области, ограниченной поверхностью S:

.

ПРИМЕР 13.

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность .

РЕШЕНИЕ:

по формуле Гаусса - Остроградского

.

Вычислим интеграл, переходя к сферическим координатам

.

Итак,

.

 

ПРИМЕР 14.

Вычислить циркуляцию вектора по контуру L:

1) непосредственно, 2) по теореме Стокса.

 

РЕШЕНИЕ:

 

1). Контур L — окружность радиуса , лежащая в плоскости .

Параметризуем кривую L:

,

Ц=

2). В качестве поверхности S, натянутой на контур L, выберем круг, имеющий линию L своей границей.

,

Ц=

.

ПРИМЕР 15.

Вычислить циркуляцию вектора

по окружности .

РЕШЕНИЕ:

циркуляция данного вектора равна

Ц= .

Применим формулу Грина:

Ц=

Перейдем к полярным координатам: ,

Ц=

.

ЗАНЯТИЕ 5: 4298, 4300, 4374, 4390.

ЗАДАНИЕ 5: См. далее индивидуальные задания.

УПРАЖНЕНИЯ:

7. Используя теорему Гаусса-Остроградского, вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью .

8. Применяя формулу Грина, вычислить циркуляцию вектора вдоль контура L:

.

9. Дано векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси. Вычислить циркуляцию этого поля по окружности

непосредственно и по теореме Стокса.


 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...