Главная Обратная связь

Дисциплины:






Застосування визначеного інтеграла у фізиці



1.Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості. При розв’язанні задач, які приводять до поняття похідної, було встановлено, що s = s(t) є первісною для функції v = v(t), яка виражає закон зміни швидкості. Оскільки шлях, який пройде тіло за інтервал часу від t1 до t2 є приростом функції s = s(t) (приріст первісної), який виражається через інтеграл за формулою Ньютона — Лейбніца, то s = за умови, що функція v = v(t) неперервна. Якщо ми зобразимо графік швидкості, то переміщення буде задаватись площею підграфіка: Приклади. 1. Швидкість руху точки м/с. Знайти шлях, який пройшла точка за 4-ту секунду. Розв’язання. Згідно умови, . Отже, 2. Два тіла почали рухатись одночасно з однієї точки в одному напрямку по прямій. Перше тіло рухається зі швидкістю v=6t2+2t м/с, друге — зі швидкістю v =4t+5 м/с. На якій відстані будуть вони один від одного через 5с? Розв’язання. Зрозуміло, що шукана величина є різниця відстаней, пройдених першим і другим тілом за 5с: 3. Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору зі швидкістю v = 39,2-9,8t м/с. Знайти найбільшу висоту підйому тіла. Розв’язання. Тіло досягне найбільшої висоти підйому в такий момент часу t, коли v = 0, тобто 39,2—9,8t=0, звідки t = 4 с.
2. Обчислення роботи змінної сили. Нехай тіло, що розгля­дається якматеріальна точка, рухається під дією змінної сили F(x), напрямленої вздовж осі Ох. Знайдемо формулу для обчислення роботи при переміщенні тіла з точки х = a у точку х= b. Нехай А(х) — робота при переміщенні тіла з точки а у точ­ку х. Надамо х приросту Dx. Тоді А(х + Dх) - А(х) — робота, яка виконується силою F(x) при переміщенні тіла з точки х у точку х + Dх. Коли Dх® 0, силу F(x) на відрізку [х; х + Dх] вважатимемо сталою, що дорівнює F(x). Тому А(х + Dх) –A(x) » F(x)Dx. Звідси Тоді або, за означенням похідної, А'(х) = F(x). Остання рівність означає, що А(x) є первісною для функції F(x). Тоді, за формулою Ньютона — Лейбніца, оскільки A(a) = 0. Отже, робота змінної сили F(x) при переміщенні тіла з точки а в точку b дорівнює . При розв’язанні задачі на обчислення роботи сили, пов’язаної з розтягом-стиском пружин використовують закон Гука: F=kx, де F – сила; x - абсолютне подовження пружини, викликане силою F; k – коефіцієнт пропорційності. Приклади. 1. Пружина в спокійному стані має довжину 0,2 м. Сила в 50 Н розтягує пружину на 0,01 м. Яку роботу треба виконати щоб розтягнути її від 0,22 до 0,32 м? Розв’язання. Використовуючи закон Гука, маємо: 50=0,01k, тобто k = 5000 Н/м. Знаходимо границі інтегрування: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Тоді робота   2. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4 м, що має квадратний пе­реріз зі стороною 2 м. Густина води r= 103 кг/м3. Розв’язання. Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже,

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...