Формула Ньютона- Лейбница

Высшая математика

2 семестр

Лекция 5.

Интегрирование функций

(приложение – таблица и свойства интегралов-

в отдельных файлах)

Огромное число приложений в различных науках приводят к следующей задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой равна функции

Определение 1:Функция называется первообразной для функции

на промежутке X, если для любого функция дифференцируема и выполняется равенство:

Пример 1: Функция первообразная для функции на промежутке , так как для каждой точки этого интервала выполняется равенство .

Заметим, что задача отыскания по заданной функции её первообразной неоднозначна;если первообразная, то и функция ,гдепроизвольное

постоянное число, также первообразнаядля функции , так как (т.к. производная суммы равна сумме производных, а производная постоянной равна 0).

Определение 2.Совокупность всех первообразных функций для функции на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом:

.

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а переменная - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по её производной (или неопределённого интеграла по заданной подынтегральной функции) называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Проверка:

Метод непосредственного интегрирования для вычисления определённых интегралов (используются только свойства и таблица интегралов):

Пример 2:

Использовали:

св-во 3 неопределенного интеграла : постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

св-во 4 неопределённого интеграла: интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

св-во 2 неопределённого интеграла

табличные интегралы:

(VI)

(V)

Вычисление интегралов методом замены переменной

Если , то - дифференциал

Пример 3:

Использовали табличный интеграл:

( ) (I) для - см. таблицу интегралов (вместо x у нас t)

Вычисления интегралов методом интегрирования по частям

- формула интегрирования по частям

если , то ß как найти du и v , если u и dv известны

а , то

Пример 4:

Пример 5:

Формула Ньютона- Лейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке [а;b] и - её первообразная на этом отрезке (т.е.

Тогда