Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих выражения , , .



В этих случая полезны следующие подстановки.

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Для случая выражения используется замена . Тогда , .

Задача.Найти .

Сделаем замену . Тогда .

Следовательно

= .

Получаем = .

 

Задача.Найти .

Сделаем замену . Тогда , .

Следовательно

= .

Получаем .

Найти .

Сделаем замену . Тогда ,

.

Следовательно

= .

Получаем .

 

 

Интегралы вида .

Напомним некоторые формулы тригонометрии:

;

;

.

 

Задача.Найти .

Решение.

= .

 

Задача.Найти .

Решение.

= .

 

Задача.Найти .

Решение.

= .

 

Интегралы вида .

Рассмотрим два случая вычисления таких интегралов.

Первый случай – это когда, по крайней мере, один из показателей степени или является нечетным числом. Будем считать для определенности нечетным числом, то есть . Обозначим . Следовательно .

Тогда

= .

Полученное подынтегральное выражение является многочленом и его интегрирование не вызовет затруднений.

 

Задача.Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

=

.

 

Задача.Найти .

Пусть . Тогда .

Имеем

= .

 

Второй случай – оба показателя степени и являются четными числами.

В этом случае для понижения степени используются формулы

 

; .

 

 

Задача.Найти .

Решение.

=

=

=

=

= .

Таким образом = .

Замечания:

- при вычислении мы воспользовались формулой двойного угла ;

- при вычислении мы воспользовались правилом интегрирования в случае, когда, по крайне мере, одна из степеней нечетная.

 

Задача.Найти .

Решение.

=

=

= .

Получаем = .

 

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...