Часть А. Несамостоятельный газовый разряд

Задача 3. Простейшая модель газового разряда

Решение

Часть А. Несамостоятельный газовый разряд

A1. Получим уравнение, описывающее изменение концентрации электронов со временем. Оно определяется двумя процессами: генерацией пар ионов внешним ионизатором и рекомбинацией электронов с ионами. В процессе ионизации электроны и ионы образуются парами, а при рекомбинации – исчезают парами, поэтому их концентрации равны в любой момент времени

. (A1.1)

Тогда уравнение, описывающее изменение концентрации электронов и ионов со временем запишется в виде

. (A1.2)

Нетрудно показать, что при функция , поэтому в силу начального условия , находим

. (A1.3)

Подставляя в (A1.2) выражение и разделяя переменные по независимым функциям (гиперболическим, или 1 и ), получаем

, (A1.4)

. (A1.5)

A2. Согласно уравнению (A1.4) установившаяся концентрация электронов при включенных внешних ионизаторах равна

, (A2.1)

, (A2.2)

. (A2.3)

Откуда получаем аналог теоремы Пифагора

. (A2.4)

A3. В стационарном режиме запишем уравнения баланса электронов и ионов виде

, (A3.1)

. (A3.2)

Из уравнений (A3.1) и (A3.2) следует, что ионный и электронный токи равны, то есть

. (A3.3)

В тоже время полный ток в сечении трубки равен сумме электронного и ионного токов

. (A3.4)

Таким образом, по определению плотности тока имеем

, (A3.5)

. (A3.6)

Подставляя (A3.5) и (A3.6) в (A3.1) или (A3.2), получаем квадратное уравнение для тока

. (A3.7)

Напряженность электрического поля в газе равна

, (A3.8)

и решение квадратного уравнения (A3.7) имеет вид

. (A3.9)

Очевидно, что смысл имеет лишь положительный корень. Таким образом,

. (A3.10)

A4. При малых значениях напряжения (A3.10) упрощается и дает следующее выражение

. (A4.3)

которое представляет собой закон Ома.

Используя известные соотношения

(A4.1)

и

, (A4.2)

получаем

. (A4.4)