Главная Обратная связь

Дисциплины:






Схема исследования и решения системы линейных уравнений в общем случае.



Пусть заданная система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,

…………………………………….

Am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, (2)

 

или, в матричной форме,

AX=B, (3)

Если В=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы(2) называется всякий n-компонентный вектор-столбец Х, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соответствующий решению Х арифметический вектор х принадлежит R n также будем считать решением системы (2) )

Система называется совместной, если у нее существует, по крайней мере, одно решение, в противно случае она называется несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

 

25. Однородные системы линейных уравнений

 

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

 

26. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

Здесь С1, С2, ..., Сnr−1, Сnr — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

 

 

Любая однородная система линейных алгебраических уравнений, ранг матрицы которой равен r, с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Общее решение однородной линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:

Свободныепеременные xr+1 , xr+2 , ..., xm−1, xm могут принимать произвольные значения.

Вычисленные по этим формулам nr линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений:

Тогда общее решение системы можно записать в вектороной форме в виде:

Здесь С1, С2, ..., Сnr−1, Сnr — произвольные константы.

 



27. Определение линейного пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I.

II.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

V.

VI.

VII.

VIII.
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...