Главная Обратная связь

Дисциплины:






Порядок аппроксимации



Рассмотрим задачу математической физики (1.10)

L(u) = f в D, l(u) = g на дD. (2.1)

Наряду с уравнением (2.1) рассмотрим уравнение в конечномерном пространстве сеточных функций

Lh(u(h)) = [f]h в Dh, lh(u(h)) = [g]h на дDh, (2.2)

где Lh – линейный оператор, зависящий от шага сетки h, u(h)ÎF(h), [f]hÎF(h), [g]hÎG(h), F(h), F(h), G(h) – пространства сеточных функций, lh – линейный оператор, аппроксимирующий граничные условия задачи. Введем в сеточных пространствах нормы.

Пусть u – точное решение дифференциальной задачи. Подстановка проекции [u]h в разностное уравнение не приводит к тождеству. Погрешности численного дифференцирования являются причиной отличия значений дифференциального и разностного операторов. Погрешность разностного оператора на решении дифференциальной задачи представляет сеточную функцию

df (h)= (2.3)

называемую невязкой.

Определение 2.1. Разностная задача (2.2) аппроксимирует стационарную дифференциальную задачу (2.1) на решении u с порядком k, если невязка (2.3) удовлетворяет условию

||df (h)|| £ Ahk,

A > 0, k > 0 не зависят от h.

Если решение u задачи (2.1) обладает достаточной гладкостью, порядок аппроксимации удобно находить с помощью нормы в пространстве непрерывных и дифференцируемых функций. С этой целью используются разложения решения и других функций по формуле Тейлора.

Определим норму функции, непрерывной в области , как наибольшее по абсолютной величине значение в

||u|| = .

За норму сеточной функции u(h) примем

||u(h)|| = .

Очевидно, что при таком определении норм справедливо неравенство

||[u]h|| £ ||u||. (2.4)

 

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...