Главная Обратная связь

Дисциплины:






Явные и неявные разностные схемы

Для одномерной эволюционной задачи область = [0, l] представляет вещественный отрезок, на котором разностная сетка (2.10) уже построена. На концах отрезка имеем граничные условия (2.13)

u0 = R0u1 + G0, uM = RM uM-1 + GM, R0 = , G0 = , RM = , GM = . (2.26)

Индекс 0 относится к значениям на левой, а индекс 1 – на правой границе области.

Проведем прямые t = tk и достроим сетку во всей расчетной области. Узлы (m, k) имеют координаты

xm = (m - ½g0)h, h = l/(M - ½g0 - ½g1), 0 £ m £ M,

tk = kt, 0 £ kt £ T.

Множество узлов, соответствующих фиксированному значению k, называется временным слоем, а фиксированному значению m – пространственным слоем. Значение сеточной функции в узле (k,m) будем записывать с верхним индексом k, подчеркивая, что переменная t описывает эволюцию процесса во времени.

Согласно (2.12) погрешность граничных условий равна

= , i = 0, 1. (2.27)

Здесь xi - координата граничного узла в масштабе сетки,

.

Конкретный вид разностного уравнения в узле зависит от представления первых производных одним из трех возможных аналогов.

Пример 2.1. Записать разностную задачу переноса, используя правостороннюю разностную производную по t и левостороннюю по x. Определить порядок аппроксимации.

Решение. Подставим в уравнение разностные выражения производных по формулам (2.5)

и добавим уравнения, следующие из начальных и граничных условий

= j(xm), 0£ m £ M, = g(tk), kt £ T.

Невязка во внутренних узлах равна

.

В граничных узлах невязка равна нулю, поскольку граничные значения переносятся на сетку точно. Привлекая формулы (2.6), получим

= - , x Î(m-1, m), q Î(k, k+1),

m £ M, kt £ T.

Считая, что решение u(x, t) имеет непрерывные производные соответствующего порядка, найдем согласно (2.4)

||df(ht)|| £ + .

Разностная схема аппроксимирует задачу с первым порядком по h и t.

Запишем уравнения во внутренних узлах в развернутом виде

= j(xm), 0£ m £ M,

= g(tk+1), (k+1)t £ T,

, 1£ m £ M.

Число разностных уравнений равно числу узлов. Решение разностной задачи получается последовательным вычислением значений сеточной функции на временных слоях, начиная с начального слоя.

Совокупность узлов, используемых в разностном уравнении, называется шаблоном.В таблице 2 представлены шаблоны, отвечающие различным вариантам разностного представления производных первого и второго порядков. При графическом изображении принято верхнему временному слою шаблона присваивать индекс k+1. Узлы (k+1)-го временного слоя изображены светлыми кружочками, остальные - темными.



Шаблоны различаются по числу точек и по числу слоев. В примере 2.1 использован шаблон №1 «левый явный уголок». Это – трехточечный шаблон, содержащий два временных и два пространственных слоя.

Шаблоны №1 – 5 – двухслойные по пространству и времени; №6 – 8, 12 – двухслойные по времени и трехслойные по пространству; №9, 10 – трехслойные по времени и двухслойные по пространству; №11, 13, 14 – трехслойные по пространству и времени. Разностное представление производной первого порядка требует два узла, а производной второго порядка – три узла на разных слоях.

 


 

Таблица 2. Шаблоны разностных схем

№1 левый явный уголок №6 шаблон Лакса №11 крест
           
№2 правый явный уголок №7 явный треугольник №12 шаблон Кранка - Николсона
           
№3 левый неявный уголок №8 неявный треугольник №13 прямоугольник
     
№4 правый неявный уголок №9 левый треугольник №14 шаблон Кранка - Николсона
           
№5 квадрат №10 правый треугольник  
         

Если на верхнем временном слое шаблон содержит один узел, разностная схема называется явной. У явной разностной задачи значение сеточной функции в каждом узле выражается аналитической формулой через значения в узлах низших временных слоев. Шаблон, имеющий на верхнем временном слое более одного узла, определяет неявную разностную схему. Если на верхнем временном слое два узла, то, продвигаясь вправо от границы, последовательно получим решение на всем временном слое. Такая схема называется схемой бегущего счета. Если узлов более чем два, на каждом временном слое придется решать систему уравнений.

Таким образом, явные разностные схемы имеют преимущество при вычислении решения. В таблице 2 шаблоны № 3, 4, 8, 12, 13, 14 порождают неявные разностные схемы, остальные – явные.

 

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...