Главная Обратная связь

Дисциплины:






Устойчивость разностных схем



Для выяснения основных понятий теории устойчивости рассмотрим дифференциальную задачу (2.1)

+ L(u) = f в D´Dt, (j = 1, 2)

l(u) = g на дD´Dt,

u = j, = y при j=2 в D при t = 0

и ее разностный аналог (2.2)

+ Lht(u(ht)) = [f]ht в Dht ,

lht(u(ht)) = [g]ht на дDh´Dt ,

u(ht) = [j]h, в Dh´{t=0},

= [y]h + ½ t ([f 0]hLh0([j]h)при j=2 в Dh´{t=0}.

Вычисления, выполняемые в процессе решения разностной задачи, сопровождаются округлением результатов, что ведет к появлению вычислительной погрешности. Где бы ни происходили округления, их результат представляет сеточную функцию, определенную на Dht. Таким образом, реально решается возмущенная разностная задача

+ Lht(v(ht)) = [f]ht + e(ht)в Dht ,

lht(v(ht)) = [g]ht + e(ht)на дDh´Dt ,

v(ht) = [j]h + e(ht)Dh´{t=0},

= [y]h + ½ t ([f 0]hLh0([j]h) + e(ht)при j=2

с возмущенными начальными и граничными условиями. Если влияние погрешностей округления незначительно, решение возмущенной разностной задачи v(ht)мало отличается от решения невозмущенной задачи u(ht). В противном случае результат будет искажен.

Определение 3.1. Разностная схема называется устойчивой, если существуют положительные числа d, и h0 и t0 такие, что при достаточно малых возмущениях ||e(ht)|| < d решение возмущенной v(ht)и невозмущенной u(ht)разностных задач при любых значениях h < h0 и t < t0 удовлетворяют условию

||v(ht)– u(ht)|| £ C||e(ht)||, C >0. (3.1)

Вычислительная погрешность du(ht)= v(ht)– u(ht)зависит от шагов по времени t и пространству h.Условие устойчивости устанавливает определенную связь между h и t. Если схема устойчива при любых значениях t >0 и h >0, она называется абсолютно устойчивой. Если схема устойчива только при определенном соотношении между шагами t и h, она называется условно устойчивой.

Связь параметров t и h отражает соотношение между минимальными временными и пространственными масштабами возмущений, описываемых разностной схемой, и задается в форме неравенства

t £ Chk,

где константы C и k не зависят от t и h. Допустим, что требуется повысить точность решения задачи уменьшением шага h. Тогда необходимо одновременно уменьшить t, чтобы выполнить неравенство с новыми параметрами сетки. Это означает, что при выполнении условия t/hk = const £ C допустим предельный переход при t®0 и h®0.





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...