Главная Обратная связь

Дисциплины:






Условие Куранта – Фридрихса – Леви



Для экономии времени и материальных затрат при численном решении задачи математической физики желательно заранее быть уверенным в устойчивости выбранной разностной схемы. Определенную долю уверенности доставляют необходимые признаки устойчивости, позволяющие отсеивать заведомо непригодные схемы.

Один из таких признаков базируется на специфике зависимости решения некоторых задач математической физики от исходных данных.

Рассмотрим задачу переноса

x > 0, t > 0,

u(0,t) = g(t), u(x,0) = j(x)

и выясним, как устроено решение в точке (x, q). Характеристики уравнения заданы системой

. (3.3)

Выделим характеристику, проходящую через точку (x, q). Для этого надо решить задачу Коши

x(q) = x.

Обозначим эту характеристику x = y(t). При a>0 характеристика x = y(t) в точке Ä с координатами (x*,t*) пересечет границу области. Если характеристика пересекает ось x, то

t* =0, u(x*,t*) = j(y(0));

при пересечении с осью t

x* = 0, y(t*) = 0, u(x*,t*) = g(t*).

Решение u(x,q) найдем интегрированием второго уравнения (3.3)

u(x,q) = u(x*,t*) + .

Таким образом, решение в точке (x,q) полностью определяется значением u(x*,t*) на границе области и значением функции f(x,t) на характеристике от точки (x*,t*) до точки (x,q). Это – область зависимости решения в точке (x,q). Любое изменение функций f, g, j вне области зависимости не меняет значение u(x,q).

В волновой задаче

0 < x < l, t > 0,

u(0,t) = g0(t), u(l,t) = gl(t), t > 0,

u(x,0) = j(x), = y(x), 0 £ x £ l

возникает аналогичная ситуация. Две характеристики уравнения, выходящие из точки (x, q) и определяемые решением задачи Коши

, x(q) = x,

вместе с границами x = 0, x = l, t = 0 вырезают область зависимости решения в точке (x, q). Выясним структуру решения на примере уравнения с постоянным коэффициентом a в безграничной области (решение Даламбера). Подобная ситуация возникает на шаблоне при рассмотрении решения в малой окрестности узла (m, k+1). Характеристики, выделенные на рис. 5a пунктиром

x – x (t – q) = 0,

пересекают ось x в точках x = x q, вырезая треугольник D.


 

 
 

 


a

 

  b  
Рис. 5

Проинтегрируем уравнение по треугольнику D

. (3.4)

К левой части равенства применим формулу Грина для плоской области D с границей дD, проходимой против часовой стрелки,

.

Принимая за y переменную t, , получим

J = .

На характеристике PA

x = x + (t – q), dx = dt,

.

Учитывая начальное условие, найдем

= {j(x – q) – u(x,q)}.

Аналогично вычисляется интеграл по характеристике BP



x = x – (t – q), ,

= {j(x + q) – u(x,q)}.

На основании AB имеем начальное условие = y(x) при t = 0

.

Вычислим контурный интеграл

J = {u(x,q) – j(x – q)} + +

+ {u(x,q) – j(x + q)}.

Подставляя значение J в формулу (3.4), найдем решение задачи в точке (x, q)

u(x, q) = ½{ j(x – q) + j(x + q)} +

+ .

Итак, треугольник PAB является областью зависимости решения в точке (x, q). Изменение функций j, y, f вне этой области не меняет значение u(x, q).

Требование к разностной схеме в части правильного учета областей зависимости решения составляет условие Куранта – Фридрихса – Леви (КФЛ).

Предложение (условие КФЛ) 3.4. Для того чтобы аппроксимирующая разностная схема была устойчивой необходимо, чтобы область зависимости разностной задачи охватывала область зависимости дифференциальной задачи.

Доказательство. Если для некоторой точки P область зависимости разностной задачи не полностью покрывает область зависимости дифференциальной задачи, то изменение данных в непокрытой части ведет к изменению в P решения дифференциальной задачи, не меняя решения разностной задачи. Поэтому не может быть сходимости решений разностной и дифференциальной задач. Следовательно, схема неустойчива, поскольку в противном случае для аппроксимирующей схемы согласно предложению 3.3 следовала бы сходимость.

Условие КФЛ отражает специфику решений задачи переноса и волновой задачи. Область зависимости решения задачи теплопроводности не имеет избирательной структуры, поэтому условие КФЛ в задачах теплопроводности не эффективно.

Применим условие КФЛ к исследованию устойчивости разностных схем. При явной схеме решение в узле (m, k+1) определено значениями сеточной функции в узлах, входящих в шаблон (область зависимости разностной задачи). В разностной схеме волновой задачи на базе шаблона №11 характеристический треугольник при t £ h охватывается областью зависимости разностной задачи (рис. 5b), а при t > h частично выходит из нее. Нарушение условия КФЛ при t > h / означает неустойчивость соответствующей разностной схемы. Поскольку признак необходим, выполнение условия КФЛ при t £ h / не гарантирует устойчивость.

В шаблонах №13, 14 таб. 2 условие КФЛ всегда выполняется.

В задаче переноса решение в узле P(m, k+1) определяется значением функции u в точке Ä, из которой приходит в P характеристика, и интегралом вдоль характеристики от точки Ä до P от функции f (область зависимости дифференциальной задачи).

 

Таблица 3 Условие КФЛ на трехточечных шаблонах

№1 №2 №3 №4
                   

 

В шаблоне №1 (таб. 3) точка Ä располагается между узлами (m-1, k) и (m, k) при at £ h и вне отрезка [xm-1, xm] при at > h. Нарушение условия КФЛ при t > h/a означает неустойчивость соответствующей разностной схемы. Выполнение условия КФЛ при соотношении шагов t £ h/a не гарантирует устойчивость.

Аналогичная ситуация с выполнением условия КФЛ в шаблонах №6, 7, 9, 11 (таб. 2).

В шаблоне №2 таб. 3 решение в узле (m, k+1) определяется значениями сеточной функции в узлах (m, k) и (m+1, k), что противоречит условию КФЛ. Схема неустойчива. Та же ситуация в шаблоне №10 (таб. 2).

В шаблоне № 3 таб. 3 при любом соотношении шагов точка Ä расположена между «граничным» узлом (m-1, k+1) и узлом (m, k), условие КФЛ всегда выполнено.

В шаблоне № 4 таб.3 при t ³ h/a точка Ä располагается между «граничными» узлами (m, k+1) и (m, k) и условие КФЛ выполнено. При t < h/a схема неустойчива из-за нарушения условия КФЛ.

В неявных схемах, определяемых шаблонами №5 и 8 (таб. 2), условие КФЛ для узла (m, k+1) при любом соотношении шагов выполнено.

Выполнение условия КФЛ означает, что разностная схема передает информацию с k-го временного слоя на (k+1)-ый с сохранением причинно - следственной связи. Соблюдение структуры областей зависимости решения по ходу вычислительного процесса является обязательным требованием для любой разностной схемы. Поэтому условие КФЛ остается в силе для нелинейных задач.

Поскольку условие КФЛ является только необходимым, разностная схема может оказаться неустойчивой при его выполнении. Разностные схемы с нарушением условия КФЛ не пригодны для решения задачи.

 

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...