Главная Обратная связь

Дисциплины:






Условие устойчивости



В разностной задаче (2.18) исключим на базе граничных условий значения искомой функции в граничных узлах и упорядочим значения сеточной функции в качестве компонент вектора. Разностная схема примет матричный вид (2.24)

+ Lk(uk) = f k,

u0 = j, = y + ½ t (f 0 - L0(j)) при j=2.

Здесь Lk и f kматрица L и функция f при t = tk.

Запишем возмущенную разностную задачу

+ Lk(vk) = f k + ek,

v0 = j + e0, ( = y + ½ t (f 0 - L0(j))+ e1.

Из определения (3.1) следует, что у устойчивой разностной схемы ошибки округления в процессе решения не накапливаются и остаются величинами порядка ||e||. Эти соображения позволяют сформулировать достаточный признак устойчивости в виде следующего определения.

Определение 4.1. Разностная схема устойчива, если при любом h и k £ T/t имеет место соотношение

||uk|| £ C1 max(||j||, ||y||) + C2||f||, ||f|| = (||fk||)

и константы C1 и C2 не зависят от t, h, j, y и fk.

Действительно, пусть u является решением задачи для функций j и f. Заменив входные данные функциями

j + e0, y + e1 и f k + ek,

получим решение v возмущенной задачи. Для du = v - u имеем

+ Lk(duk) = ek, du0 = e0, = e1 при j=2,

и условие устойчивости примет вид

||duk|| £ C1 max(||e0||, ||e1||) + C2||e|| £ (C1 + C2)||e||,

что совпадает с определением (4.1).

Итак, счетная устойчивость устанавливает непрерывную зависимость решения от входных данных для задач с дискретным аргументом.

Применим определение 3.1 к исследованию устойчивости разностной задачи

+ Lk(uk) = f k, u0= j.

Разрешив схему относительно неизвестного, приходим к соотношению

uk+1 = Tk(uk) + t Sk(f k), u0= j, (4.1)

где Tоператор шага, S – оператор источника.Разностные схемы эволюционных уравнений типа (4.1) называются двухслойными.

Допустим, что операторы T и S не зависит от времени.

uk+1 = T(uk) + t S(f k), u0= j.

Матричное решение задачи имеет вид

uk = Tk(j) + .

Перейдем к нормам

||uk|| £ ||T||k ||j|| + ||S||t .

Пусть ||f|| = . Усилим неравенство

||uk|| £ ||T||k ||j|| + ||S||t||f||.

Если ||T|| £ 1, то получим

||uk|| £ ||j|| + kt ||S|| ||f||.

Поскольку kt £ T, выполняется определение 4.1. Итак, при ||T|| £1 схема устойчива.

 

 

Принцип максимума

Рассмотрим задачу (4.1) для случая, когда оператор L зависит от времени. Пусть при любом h и k £ T/t норма оператора шага не превосходит 1, а оператор источника ограничен

||Tk|| £ 1, ||Sk|| £ C,

константа C не зависит от h и t. Перейдем в равенстве (4.1) к нормам



||uk+1|| £ ||uk|| + t C||f k||, ||u0|| = ||j||. (4.2)

Неравенство (4.2) называется принципом максимума.

Предложение 4.2. Разностная схема, удовлетворяющая принципу максимума (4.2), устойчива.

Доказательство. Просуммируем неравенства (4.2) и исключим общие члены справа и слева

||uk|| £ ||j|| + t C .

Заменим ||f j|| на ||f||, усилив неравенство

||uk|| £ ||j|| + kt C||f||.

Поскольку kt £ T, последнее неравенство означает, что выполняется определение 4.1. Схема устойчива.

Если задача однородна (f = 0), принцип максимума выражает известный в математической физике факт: решение принимает максимальное по абсолютной величине значение на границе области

||uk|| £ ||j||.

Пример 4.1. Явная разностная схема

+ Lk(uk) = f k, u0= j,

где f k = f(tk), Lk = Látkñ, аппроксимирует задачу (2.17) с первым порядком по t. Разрешив схему относительно неизвестного, приходим к соотношению (4.1) со значениями

Tk = E – tLk, Sk = E.

По принципу максимума явная схема устойчива при условии

||E – tLk|| £ 1.

Итак, исследование устойчивости сводится к оценке нормы оператора шага. Введем нормы

||uk|| =, ||fk|| =.

Пример 4.2. Для разностной схемы задачи переноса (шаблон №1 таб. 2)

получено необходимое условие устойчивости ||a||t £ h. Доказать, что при этом условии схема устойчива.

Решение. Приведем уравнение к виду (4.1), исключив граничные условия (при этом изменится правая часть )

.

При условии ||a||t £ h коэффициенты при значениях функции в правой части соотношения не отрицательны. Во внутренних узлах имеем

.

С учетом значения получим

||uk+1|| £ ||uk|| + t ||fk||.

Выполнен принцип максимума. Схема устойчива.

 

Пример 4.3. Для разностной схемы Лакса (шаблон 6 таб. 2)

получено необходимое условие устойчивости ||a||t £ h. Доказать, что при этом условии схема устойчива.

Решение. Приведем уравнение к виду (4.1), исключив граничные условия

(k+1)t £ T,

.

При условии ||a||t £ h коэффициенты при значениях функции в правой части соотношения не отрицательны. Произведем оценку

С учетом значения получим

||uk+1|| £ ||uk|| + t ||fk||.

Выполнен принцип максимума. Схема устойчива.

 

Пример 4.4. Для разностной схемы задачи теплопроводности (шаблон №7 таб. 2)

получено необходимое условие устойчивости ||a||t £ h2. Доказать, что при этом условии схема устойчива.

Решение. Приведем уравнение к виду (4.1), исключив граничные условия

При данном условии коэффициенты при значениях функции в правой части соотношения не отрицательны. Во внутренних узлах имеем

.

С учетом краевых значений получим

||uk+1|| £ ||uk|| + t ||fk||.

Выполнен принцип максимума. Схема устойчива.

 

 

Оценки норм матриц

Пусть в евклидовом пространстве Rn задан оператор с матрицей A. Введем в рассмотрение сопряженный оператор посредством тождества

(v, A(u)) = (AT(v), u), u, v Î Rn.

Матрицы A и AT имеют одинаковый спектр.

Оператор A называется симметричным, если A = AT. У симметричного оператора собственные значения вещественны и существует ортонормированный базис из собственных векторов

(ei, ej) =

Спектр симметричного оператора будем записывать в виде

Sp(A) ={l1, …, lr}, l1> …> lr.

У симметричного оператора для любого ненулевого вектора u имеет место двустороннее неравенство

lr (u,u) £ (u, A(u)) = £ l1(u,u).

Оператор A называется положительно определенным и обозначается A > 0, если для любого ненулевого вектора u Î Rn имеет место строгое неравенство

(u, A(u)) > 0,

и положительно полуопределенным (A ³ 0) при нестрогом неравенстве

(u, A(u)) ³ 0.

У симметричного положительно полуопределенного оператора

(u, A(u)) ³ lr (u,u) ³ 0,

откуда вытекает l1> …> lr = 0.

У симметричного положительно определенного оператора

(u, A(u)) ³ lr (u,u) > 0,

откуда вытекает неравенство l1> …> lr > 0.

Для любого оператора A существует симметричный оператор ATA. В силу неравенства

(u, ATA(u)) = (A(u), A(u)) ³ 0

оператор ATA положительно полуопределен, а для невырожденного оператора A – положительно определен.

Определим в векторном пространстве норму вектора

||u|| = ,

а за норму оператора примем спектральную норму его матрицы

||A|| = ,

где l1(ATA) – максимальное собственное значение матрицы ATA. Спектральная норма является минимальной, т. е.

||A||2= .

При A > 0 для всех uимеем

(A(u), u) = (u, AT(u)) = (C(u), u), C = ½ (A + AT).

Оператор C является симметричным положительным оператором, что позволяет ввести новое скалярное произведение

(v,u)C = (v, C(u))

и норму

= (u, C(u)). (4.3)

Эта норма называется энергетической. Имеет место оценка

£||C||×||u||2= l1(C) ||u||2,

откуда вытекает

||u||C £ ||u||, (4.4)

где l1(C) – максимальное собственное значение матрицы C.

В линейной алгебре доказывается критерий Сильвестра о положительной определенности симметричного оператора, из которого вытекает

Предложение 4.3. Оператор A положителен тогда и только тогда, когда главные угловые миноры матрицы C = ½(A + AT) положительны

D1 > 0, D2 > 0, …, Dn > 0.

 

Пример 4.5. Проверить, что оператор A положителен

A =

и найти энергетическую норму вектора u= (1, 2, 3).

Решение: Поскольку для матрицы

C = ½(A + AT) =

выполнен критерий Сильвестра (D1 = 4, D2 = 15, D3 = 54),оператор A положителен.

Энергетическая норма вектора u

||u||C = .

Поскольку l1(C) = 6, а ||u|| = , выполнено соотношение (4.4).

 

Лемма 4.4. Для любого положительно полуопределенного оператора A выполняется условие

||(E + r A)–1|| £ 1

при любых значениях r ³0.

Доказательство. По определению

||(E + r A)–1||2= .

Положим v = (E + r A)–1(u), где E – единичная матрица. По условию оператор A положительно полуопределен (v, A(v)) ³ 0.

||(E + r A)–1||2= =

= £ 1.

При A > r > 0 неравенство становится строгим

||(E + r A)–1|| <1.

Лемма (Келлог) 4.5. Для любого положительно полуопределенного оператора A выполняется условие

||(E –r A)(E + r A)–1|| £ 1

при любых значениях r ³0.

Доказательство. По определению

||(E –r A)(E + r A)–1||2= .

Положим v = (E + r A)–1(u).

||(E – r A)(E + r A)–1||2= =

= £ 1.

При A > 0, r > 0 выполняется строгое неравенство

||(E – r A)(E + r A)–1||<1.

Следствие 4.6. В условиях леммы Келлога

||(E + r A)–1(E - r A)|| £ 1.

Доказательство. Умножим проверяемое непосредственно равенство

(E - r A)(E + r A)= (E + r A)(E - r A)

на (E + r A)–1справа и слева

(E + r A)–1(E - r A) = (E - r A)(E + r A)–1.

Утверждение следует из леммы Келлога.

Рассмотрим задачу на отыскание максимального и минимального собственных чисел матрицы A > 0, имеющей положительный спектр

Sp(A) = {l1 > l2 > … > lr > 0}.

Построим итерационный процесс[1,5]

u(i+1) = A( ),

где u(0) – произвольный ненулевой вектор. Тогда

l1 = . (4.5)

Составим новую матрицу

B = l1E - A,

имеющую общий базис с матрицей A. Наименьшее собственное значение lr находится в результате итерационного процесса

u(i+1) = B( ), lr = .

При несимметричной матрице A следует пользоваться энергетической нормой.

Спектральная норма матрицы A находится по формуле

||A|| = ,

где вычисляется описанным методом.

Предложение 4.7. Разностный оператор

Lh(u(h)) = { + [c]m um, 1 £ m £ M-1},

аппроксимирующий дифференциальный оператор

L(u) = на [0, l],

-g0 + s0(t) u(0,t) = 0, g1 + s1(t) u(0,t) = 0, gi Î {0, 1},

при a>0, c³0, si ³ 0, i = 0, 1 положительно полуопределен.

Доказательство. На промежутке [0, l] при втором порядке аппроксимации граничные условия составляют систему равенств (2.26)

u0 = R0u1, uM = RMuM-1,

R0 = , RM = .

Разностный оператор

Lh(u(h)) = { }

после исключения значений в граничных узлах имеет симметричную трехдиагональную матрицу порядка (M-1)

L =

Вычислим скалярное произведение

(u,L(u)) = +

+ .

Подставим значения

1 – R0 = , 1 – RM = .

(u,L(u)) = +

+ .

При a>0, c³0, si ³ 0, i = 0, 1 из равенства (u,L(u)) = 0 вытекает

ui+1 = ui, , i = 1, M – 2, .

Если c = 0, gi = 1, si = 0, i = 1, 2, существует ненулевое решение ui = const, на котором (u,L(u)) = 0. При c = 0 и g0 = 0 (g1 = 0) граничное условие u0 = 0 (uM = 0) исключает ненулевое решение.

Таким образом, при граничных условиях Неймана

= =0

оператор L положительно полуопределен, в остальных случаях – положительно определен.

Предложение 4.7 является следствием положительной определенности дифференциального оператора L(u). Действительно, преобразуем скалярное произведение

(u, L(u)) = =

= + g1s1a(l, t)u2(l, t) + g0a(0, t)u2(0, t).

При a>0, c³0, si ³ 0, i = 0, 1 имеем (u, L(u)) ³ 0, причем равенство нулю возможно только при условии

c = 0, g0 = g1 = 1, s0 = s1 = 0.

Для двухслойных разностных схем из предложения 4.7 вытекает следующий вывод. Неявная разностная схема

+ Lk(uk+1) = f k, u0= j,

f k = f(tk+1), Lk = Látk+1ñ,

аппроксимирующая задачу (1.11) с первым порядком по t, приводится к соотношению (4.1) со значениями

Tk = (E + t L k)–1, Sk = (E + t L k)–1.

Для неотрицательного оператора Lk неявная схема в силу леммы 4.2 абсолютно устойчива.

Схема Кранка – Николсона второго порядка аппроксимации

+ Lk( ) = f k, u0= j,

где f k = f(tk+½), L k = Látk+½ñ, тоже приводится к стандартному виду со значениями

Tk = (E + ½t L k)–1(E – ½t L k), Sk = (E + ½t L k)–1.

Для неотрицательного оператора Lk схема Кранка – Николсона в силу леммы Келлога 4.3 и принципа максимума 4.7 абсолютно устойчива.

Пример 4.6. Доказать, что разностная схема «неявный треугольник» (шаблон №8 таб. 2), аппроксимирующая задачу теплопроводности

, 0 < x < l, 0 < t, (a > 0),

- g0 + s0(t)u(0, t) = g0(t), g1 + sl(t)u(l, t) = gl(t),

u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l,

абсолютно устойчива.

Решение. На сетке

xm = (m – ½g0)h, tk = kt, h = 2l/(2M – g0g1) ,0 £ m £ M, kt £ T

разностная схема имеет вид

, 0 £ m £ M,

0 £ m £ M,

(k+1)t £ T.

Невязка во внутренних узлах принимает значения

.

В граничных узлах невязка получена в примере 2.3

£ , i = 0, 1, xi Î{0, M}.

Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и первым по t.

После исключения граничных значений получим систему

+ Lk+1(uk+1) = f k+1, u0= j.

Согласно предложению 4.7 имеем Lk+1 = Látk+1ñ ³ 0. Неявная схема приводится к виду (4.1) со значениями

Tk = (E + t L k+1)–1, Sk = (E + t L k+1)–1.

По следствию 4.6 ||Tk|| = ||Sk|| £ 1. Выполнен принцип максимума. Схема абсолютно устойчива.

 

Пример 4.7. Доказать, что разностная схема Кранка – Николсона (шаблон №12 таб. 2), аппроксимирующая задачу теплопроводности примера 4.6, абсолютно устойчива.

Решение. Схема Кранка – Николсона имеет вид

, 0 £ m £ M,

0 £ m £ M,

(k+1)t £ T.

Невязка во внутренних узлах принимает значения

.

В граничных узлах невязка получена в примере 4.6. Разностная схема аппроксимирует задачу со вторым порядком по h и t.

После исключения граничных значений получим систему

+ ½ Lk+1/2(uk+1+ uk) = f k+1/2, u0= j.

Согласно предложению 4.7 имеем Lk+1/2 = Látk+1/2ñ ³ 0. Схема Кранка – Николсона приводится к виду (4.1) со значениями

Tk = (E + ½t L k+1/2)–1(E – ½t L k+1/2), Sk = (E + ½t L k+1/2)–1.

В силу леммы Келлога 4.5 и принципа максимума 4.2 схема Кранка – Николсона абсолютно устойчива.

 

Пример 4.8. Выяснить условия устойчивости консервативной разностной схемы Кранка – Николсона (шаблон №12 таб. 2), аппроксимирующей задачу теплопроводности

, 0 < x < l, 0 < t, (a > 0),

- + s0(t)u(0, t) = g0(t), + sl(t)u(l, t) = gl(t), 0 < t,

u(x,0) = j(x), 0 £ x £ l.

Решение. На сетке

xm = (m – ½)h, tk = kt, 0 £ m £ M, k ³0, h = l/(M – 1)

разностная схема Кранка – Николсона

= j(xm), , 0£ m £ M,

+

+ , 1£ m £ M-1, k > 0,

,

, k > 0

аппроксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком по h и t.

Исключим с помощью граничных условий значения сеточной функции в граничных узлах

и введем обозначения

m £ M-1,

m £ M-2,

Разностная схема примет вид

,

,

.

Примем значения сеточных функций за компоненты векторов

uk = ( ), fk+½ = ( ), 1 £ m £ M – 1.

Тогда разностная схема может быть записана в матричном виде

где - квадратная трехдиагональная матрица порядка M – 1

= .

Согласно предложению 4.5 оператор при c ³0, s0³0, sl ³0 положительно определен, а при c = s0= sl =0 – положительно полуопределен. Схема представима в виде

uk+1 = (uk) + t (fk+1/2),

где = (E+ )-1(E+ ), = (E+ )-1.

Итак, при c ³0, s0³0, sl ³0 согласно лемме Келлога 4.3 консервативная разностная схема абсолютно устойчива.

 

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...