Главная Обратная связь

Дисциплины:






Покомпонентное расщепление задач гиперболического типа



Рассмотрим задачу

+ L(u) = f, в Dh´Dt,

u(0) =j, =y,

где оператор L является симметричным и положительно определенным, а функции jи y допускают достаточную гладкость решения.

Пусть L = L1 + L2, причем L1 ³ 0, L2 ³ 0. Из содержания §1 главы 5 следует, что операторы L1 и L2 симметричны. Используем разностную аппроксимацию Кранка – Николсона

+ Lk( ) = f k, u0= j, u1= j + t y + (f 0 – L0(j)). (5.8)

Разностная схема (5.7) аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком по t и согласно спектральному критерию Неймана устойчива при любом фиксированном операторе Lk.

Разностное уравнение (5.7) приводится к виду

(E + Lk) + Lk(uk) = f k,

эквивалентному с точностью до величин второго порядка малости по t разностной схеме расщепления

(E + )(E + ) + Lk(uk) = f k. (5.8)

Схема (5.8) реализуется следующим образом

(E + )(Fk+1/2) = f kLk(uk),

(E + )(Fk+1) =Fk+1/2,

uk+1 = 2ukuk-1 + t2 Fk+1, k ³ 1,

u0 = j, u1 = j + t y + (f 0 – L0(j)).

Заметим, что разностная схема (5.8) в отличие от (5.7) не является абсолютно устойчивой. Поскольку уравнение приводится к виду

+ B-1Lk(uk) = B-1(f k),

B = (E + )(E + ),

то согласно спектральному условию Неймана имеем условие устойчивости

t £ , (5.9)

где l1(B-1Lk) – наибольшее собственное значение задачи

Lk(u) = l B(u).

Преобразуем матрицу

Lk- l B = Lk- l (E + ) =

= ,

где m = . Модуль собственного значения не превосходит нормы матрицы. Считая m положительной величиной, имеем

m £ . (5.10)

Оценим норму обратной матрицы. Для любой матрицы A с нормой ||A|| < 1 верно равенство

(E + A)-1(E + A) = E.

Запишем его в виде

(E + A)-1 = E - (E + A)-1A

и перейдем к нормам

||(E + A)-1|| £ 1 + ||(E + A)-1||||A||.

Решая неравенство, получим необходимую оценку

||(E + A)-1|| £ (1 - ||A||)-1.

Применим ее к неравенству (5.10)

m £ .

Из метода редукции двумерного оператора Lk (§1 глава 5) следует, что и - симметричные операторы с неотрицательным спектром. Спектральная норма равна наибольшему собственному значению.

Пусть

(uj) = uj, ||uj|| = 1, j = 1, 2.

В силу условия

(u, Lk(u)) = (u, (u)) + (u, (u))

имеем

= (uj, (uj)) £ (uj, Lk(uj)) £ ||Lk||(uj,uj) = ||Lk||.

Тогда

m £ .

Собственные значения l, включая l1(B-1Lk), удовлетворяют неравенству

l = £ .

Усилим условие устойчивости (5.9), заменив l1(B-1Lk) большим значением

t £ .

Шаг t удовлетворяет квадратному неравенству

,

откуда

t £ .

Поскольку



||Lk|| £ ||L||, ||L|| = ,

выполнение неравенства

обеспечивает устойчивость разностной схемы расщепления.


Заключение

 

При решении дифференциальных уравнений математической физики широкое применение нашел метод конечных разностей. Качество решения, получаемого конечно – разностным методом, определяется такими свойствами разностной схемы, как устойчивость и сходимость. Опыт расчетов на ЭВМ показал, что аппроксимирующая дифференциальную задачу разностная схема может оказаться неустойчивой. Неустойчивая разностная схема чувствительна к ошибкам округления, возникающим в процессе расчета, и приводит к решению, значительно отличающемуся от решения дифференциальной задачи.

Практика расчетов подтолкнула теоретические исследования по установлению связи между устойчивостью и сходимостью. К середине прошлого века было установлено, что устойчивость разностной схемы, аппроксимирующей линейную дифференциальную задачу, является необходимым и достаточным условием сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи. Исследования, продолжающиеся до настоящего времени, привели к появлению эффективных признаков устойчивости.

Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости создали базу для построения разностных схем задач математической физики. Как правило, алгоритм решения задачи конечно – разностным методом представляет сочетание метода конструирования разностного аналога задачи и метода его решения. Эффективный метод построения разностных схем основан на законах сохранения, присущих физическим процессам. Такие разностные схемы получили название консервативных. При конструировании консервативной разностной схемы исходят из уравнений балансов, записанных для отдельной ячейки сеточной области, с последующим применением интерполяционных и квадратурных формул. Разностные уравнения консервативной разностной схемы удовлетворяют дискретным аналогам интегральных законов сохранения.

Опыт решения одномерных задач подготовил базу для формирования алгоритмов решения более сложных задач математической физики. Прогресс в решении многомерных задач связан с разработкой метода расщепления. Сущность метода расщепления состоит в редукции сложного оператора к простейшим. Тем самым интегрирование многомерного уравнения сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры. Разностные схемы, получаемые методом расщепления, обязаны удовлетворять условиям устойчивости и аппроксимации только в конечном итоге. Это обстоятельство открывает возможность гибкого построения схем для основных уравнений математической физики.

Параллельно с усложнением задач, решаемых методом конечных разностей, шло совершенствование методов решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Наряду с приспособлением для автоматического счета классических методов созданы итерационные методы решения линейных систем с разреженными матрицами большого порядка.

Развиты методы оценки возмущений, вызванных ошибками округления. Появилась возможность сравнивать вычислительные методы не только по количеству арифметических операций и объему памяти, требуемой для их реализации, но и по точности.

Прогресс в области вычислительной техники оказал существенное влияние на развитие вычислительной науки. Созданы универсальные алгоритмы, способные обслуживать широкие классы математически однотипных проблем. Системы ЭВМ стали эффективными хранителями ценной информации, доступной к немедленному использованию.





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...