Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнения математической физики



Все тела состоят из отдельных частиц (молекул, атомов, электронов и т. д.). Следить за движением каждой частицы из-за их огромного количества и неизвестности сил взаимодействия между ними невозможно и, как правило, в этом нет необходимости. Для практики требуются только некоторые суммарные характеристики. Поэтому тело можно рассматривать как среду, заполняющую некоторую часть пространства сплошным образом. Такой подход позволяет использовать при изучении физических процессов аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное исчисление.

Пусть сплошная среда заполняет некоторую область DÎR3. Назовем элементарным минимальный объем dV, о котором еще можно говорить как о сплошной среде. В декартовой системе координат Oxyz состояние среды в каждый момент времени t характеризуется плотностью r(x,y,z,t), полем скоростей

v(x,y,z,t) = (vx(x,y,z,t), vy(x,y,z,t), vz(x,y,z,t))

и полем температур T(x,y,z,t).

Среда обладает внутренней энергией. Элементарный объем dV среды содержит rUdV энергии. Плотность U внутренней энергии, рассчитанная на единицу массы, зависит от температуры и других параметров среды. Производная внутренней энергии по температуре c = dU/dT называется теплоемкостью.

В целях сокращения записи в дальнейшем будем использовать также обозначения

x1 = x, x2 = y, x3 = z,

v1 = vx, v2 = vy, v3 = vz.

В ортонормированном базисе e1,e2,e3 декартовой системы координат вектор скорости с использованием индексных выражений представляется в виде

v = v iei,

где по i подразумевается суммирование по всем значениям индекса.

Рассмотрим произвольную частицу сплошной среды, занимающую объем V(t),ограниченный поверхностью S(t). Индивидуальный объем частицы V(t) во время движения может меняться, однако масса, заключенная в объеме, остается постоянной. Для элементарного объема это свойство выражается формулой

. (1)

Раскрывая производную, получим

Производную элементарного объема вычислим согласно определению

.

При движении среды каждая точка поверхности S(t), ограничивающей объем V(t), перемещается перпендикулярно поверхности со скоростью (v,n) (рис. 1), где n – нормаль к поверхности. Следовательно, изменение объема за время Dt равно

  Рис. 1  

V(t+Dt) - V(t) = .

Преобразовав по формуле Остроградского – Гаусса интеграл по поверхности в интеграл по объему

,

получим

.

Теперь уравнение (1) можно записать в дифференциальной форме

. (2)

Уравнение (2) выполняется при непрерывном движении любой сплошной среды и называется уравнением неразрывности. Производная вычисляется вдоль траектории элементарной частицы



(3)

и называется полной в отличие от частной производной .

Частицу среды будем рассматривать как носитель некоторой субстанции (массы, импульса, энергии и т. п.). Обозначим через u(x,y,z,t) плотность переносимой субстанции, рассчитанной на единицу массы сплошной среды. В элементарном объеме dV среды содержится количество субстанции, равное rudV.

Пусть n внешняя нормаль к поверхности S. Изменение количества субстанции в объеме V(t)вызывается двумя причинами.

1. Процессы в самой среде, изменяющие содержание субстанции. Обозначим через f(x,y,z,t) массовую скорость генерации субстанции. В малом объеме dV за время dt производится количество субстанции, равное rfdVdt.

2. Вынос субстанции через поверхность S(t), вызванный хаотическим движением молекул, атомов, электронов и т. д. Вынос субстанции через границу объема определяется векторной величиной q(x,y,z,t), называемой потоком. Поток q задает перенос в направлении нормали n через единицу площади поверхности за единицу времени количества субстанции, равного qn = (q,n).

Запишем уравнение баланса

. (4)

В силу постоянства rdV получим

Выполнив преобразование по формуле Остроградского – Гаусса, придадим балансовому равенству вид

.

Для непрерывных подынтегральных функций получим дифференциальную форму равенства

= rf - divq. (5)

Индивидуальная частица подвергается воздействию со стороны внешней части среды. Подобного рода силовое взаимодействие наблюдается на поверхности соприкосновения воды со стенками сосуда. По допущению, принятому в механике сплошной среды, воздействие внешней части среды на объем V(t) приводится к поверхностным силам, распределенным по границе S(t)объема. На малой площадке dS с внешней по отношению к объему V(t) нормалью n поверхностные силы приводятся к равнодействующей Pn dS, зависящей от нормали n. Величина Pn называется напряжениемна площадке dS. С хорошим приближением к реальности зависимостьPn от n выражается линейным оператором Pn = P(n),где P – квадратная матрица. В декартовой системе координат верхние и нижние индексы не различаются. Присвоим верхний индекс номеру строки, а нижний – номеру столбца

P = .

По физическим соображениям матрица P симметрична, Pji = Pij. Напряжение на малой площадке, перпендикулярной оси xi, представляется вектором

P(ei) = Pijej = = Pi.

Формула имеет простой смысл: в силу симметрии матрицы P координаты вектора P(ei)составляют как i-ый столбец матрицы, так и i-ую строку. На площадке с нормалью n = n jej получим

Pn = P(n) = eiPjin j = ei(Pjin j) = ei(Pi,n).

Для материальной точки массы m имеем уравнение Ньютона

,

где F – равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку. Для совокупности точек получим

где правую сумму составляют только внешние по отношению к системе силы, так как внутренние силы входят парами и сокращаются.

Как всякое тело, имеющее массу, среда в силовом поле находится под действием сил (вес, электромагнитные силы, силы инерции и т.д.). Пусть единица массы среды в силовом поле имеет ускорение g = giei. Составим уравнение Ньютона для частицы сплошной среды

. (6)

Рассмотрим энергетический баланс среды. Неравномерное распределение температуры по объему тела вызывает передачу тепла, обусловленную теплопроводностью. В процессе теплопроводности тепло к любому выделенному объему поступает только через поверхность этого объема. Передача тепла происходит от нагретых частей тела к более холодным. Поток тепла q определяет перенос за время dt через малую площадку dS в направлении нормали n количества тепла

(q, n) dS dt.

Основным законом, определяющим вектор q, является закон теплопроводности Фурье

q = - k gradT.

Вектор теплового потока и градиент температуры направлены в противоположные стороны. Коэффициент теплопроводности k зависит от температуры и других параметров среды и определяет скорость переноса тепла.

Тепло к среде может поступать за счет других источников (излучения, электрического тока, химических реакций и т. п.) Пусть в результате процессов, протекающих внутри среды, за время dt в малом объеме dV с центром в точке M выделяется количество тепла, пропорциональное объему dV, плотности r и времени dt

r(M,t)f(M,t) dV dt,

где f(M,t)– коэффициент пропорциональности, определяющий скоростьгенерации тепловой энергии.

Изменение энергии частицы среды за малый интервал dt времени вызывается работой объемных и поверхностных сил на перемещении dr = vdt, генерацией f тепла внутри объема и притоком тепла через поверхность S(t). Составим уравнение энергетического баланса для частицы среды.

+ + . (7)

Здесь U,½(v,v)соответственно внутренняя и кинетическая энергии, расчитанные на единицу массы среды, поток q определяется законом теплопроводности Фурье. В выражении (Pn,v) перейдем к сопряженному оператору

(Pn,v) = (P(n),v) = (n, P(v)).

Уравнения (6) и (7) для каждой координаты вектора скорости и для энергии среды представляют балансовые соотношения типа (4). При непрерывных подынтегральных функциях в силу произвольности объема V(t) эти уравнения можно заменить эквивалентными дифференциальными равенствами (5).

,

.

Здесь - ускорение среды в точке (x,y,z) в момент времени t.

Вычислим

divP(v) = .

Величина

F = , (8)

представляет работу поверхностных сил по преодолению внутреннего трения и на увеличение внутренней энергии среды. Привлекая уравнение движения, получим

+ F = F.

Состояние движущейся сплошной среды описывается законами сохранения массы, импульса и энергии.

, , . (9)

 

Задача переноса

При r = const сплошная среда называется несжимаемой. Уравнение неразрывности (2) для несжимаемой среды принимает вид

divv = 0.

В уравнении (5) перейдем к величинам C = r u, F = r f. Представив полную производную по формуле (3), получим с учетом уравнения неразрывности

. (10)

Здесь C – массовая концентрация переносимой субстанции (кг/м3), F – массовая плотность генерации субстанции (кг/м3/сек).

Пусть движущаяся несжимаемая среда переносит некоторую субстанцию, не перемешиваясь с ней. Распространение субстанции описывается уравнением (10) при q = 0. В случае двух пространственных переменных получим уравнение

. (11)

Распространение плавающих загрязнений морскими течениями, дрейф льдов в полярных акваториях, ледоход на реке описываются уравнением (11). Через функцию F можно учесть оседание твердых фракций плавающих загрязнений, изменение массы ледовой составляющей вследствие таянья или намерзания, пополнение массы льда в русле реки из притоков и т. д.

Пусть несущая среда заполняет область D(x,y)с границей дD(x,h) и скорости движения vx, vy известны. Сформулируем начальные и граничные условия для задачи переноса плавающих загрязнений. Необходимо задать начальное состояние загрязнения

u(x,y,0) = j(x,y), (x,yD. (12)

На части границы дD1ÌдD, через которую течением заносятся загрязнения, необходимо задать граничное условие

u(x,h,t) = g(x,h,t), (x,hдD1. (13)

Нахождение решения уравнения (11), удовлетворяющего начальным условиям (12) и граничным условиям (13), составляет задачу переноса. Отметим, что в задаче переноса граничное условие задается только на части границы дD.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...