Главная Обратная связь

Дисциплины:






Теорема про необхідні і достатні умови



рівності кривизни кривої нулю:

Для того, щоб кривизна кривої дорівнювала нулю, необхідно і достатньо щоб крива лінія була прямою або відрізком

Доведення:

(необхідність)

 

Дано, що кривизна дорівнює нулю, доведемо, що в цьому випадку крива є прямою

а якщо похідна стала, то функція буде лінійною: - лінійний вектор, який визначає пряму лінію.

(достатність)

 

Дано, що лінія є прямою, доведемо, що кривизна дорівнює нулю.

Так, як лінія є прямою, то вона визначається лінійним вектором , тоді його похідна

, а друга похідна дорівнює нулю, це означає, що

 

Обчислення кривизни кривої у випадку

довільної параметризації:

- задана лінія

припустимо, що , тобто

маємо

розглянемо тепер вираз:

так, як - це вектор постійної довжини, то кут між і =90о, див. теорему

тобто маємо, що кривизна:

Отже -кривизна кривої для довільної параметризації

Скрут кривої і його визначення

Нехай крива лінія задана в натуральній параметризації: , розглянемо на кривій деяку т.Р і нескінченно близьку до неї т.Q, побудуємо в т.Р і Q одиничні вектори бінормалі

- довжина дуги РQ

- кут повороту бінормалі

 

Абсолютним скрутом кривої (1) в т.Р називається границя відношення кута повороту бінормалі кривої до довжини дуги кривої кривої, між двома нескінченно близькими точками, у яких побудовано бінормаль, при умові, що довжина дуги прямує до нуля.

 

 

Теорема:

 

Всяка регулярна, принаймні тричі неперервно-диференційовна крива, у кожній своїй неособливій (в якій кривизна не дорівнює нулю) точці має абсолютний скрут, який визначається так:

Доведення:

Покажемо спочатку, що справді

 

вектор ортогональний до , як вектор постійної довжини.

Покажемо, що ортогональний , справді розглянемо скалярний добуток * =0, візьмемо похідну правої і лівої частини: * + * =0, звідси, так як = а лежить в стичній площині, то * =0 => * =0, отже ортогональний до .

 

Звідси випливає, що - співнаправленні.

Розглянемо

отже ми показали, що

Знайдемо , і підставимо в ( ), із теореми про існування кривизни маємо, що

отже:

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...