Главная Обратная связь

Дисциплины:






Якщо дано дві криві та , які мають однакові довжини і у відповідних точках, мають однакову кривизну і скрут, то існує переміщення, яке переводить лінію у .

Із теореми маємо, що кривизна і скрут визначають криву з точністю до положення у просторі.

З іншого боку, якщо дано дві функції , причому , то завжди існує крива для якої ці дві величини будуть кривизною і скрутом.

Виходячи із всього сказаного рівняння:

називаютьсянатуральними рівняннями кривої

Якщо крива задана звичайною параметризацією ( ), то для того щоб написати натуральні рівняння кривої визначаємо спочатку кривизну і скрут, і тоді переходимо в отриманих виразах до натуральної параметризації.

 

Формули Френе

Нехай крива лінія задана в натуральній параметризації , тоді має місце така теорема:

Для всякої регулярної, принаймні тричі неперервно-диференційовної кривої мають місце рівності (формули):

Формули Френе

Доведення:

Формули Френе виражають співвідношення між векторами , , і їх похідними по параметрах аргументу.

1) перша формула випливає із теореми про існування кривизни:

2) друга формула випливає із теореми про існування скруту:

знак “-” ставимо тому що в просторі введено праву систему координат

3)

Плоскі криві

 

Лінія називається плоскою якщо всі її точки належать одній і тій же площині.

На плоскі криві можна розширити ряд понять по аналогії для просторових кривих. Наприклад можна ввести поняття дотичної до плоскої кривої, як граничне положення січної.

Нехай задано плоску лінію і припустимо, що вона належить одній з координатних площин, наприклад xOy, тоді

, тому

 

 

Напишемо канонічне рівняння дотичної:

- канонічне рівняння дотичної





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...