Главная Обратная связь

Дисциплины:






Застосування першої квадратичної форми



1) Обчислення довжини дуги кривої на поверхні:

 

Розглянемо поверхню (1), на якій розглянемо лінію , яка задана рівнянням : , знайдемо зовнішнє рівняння лінії : і для обчислення довжини дуги кривої (2) скористаємось формулою:

 

, знайдемо

 

 

Отже - довжина дуги кривої на поверхні

Отже довжина дуги кривої на поверхні виражається через першу квадратичну форму, тому її ще називають метричною формою.

 

ЗАУВАЖЕННЯ: Геометричні (фігури) поняття на поверхні, які виражаються через першу квадратичну форму належать до понять внутрішньої геометрії.

 

Внутрішня геометрія –це частина геометрії, яка вивчає властивості геометричних фігур на поверхні засобами тільки самої поверхні.

 

2) Визначення кута між двома кривими на поверхні :

 

Нехай на поверхні (1) задано дві криві лінії і , які перетинаються.

 

Напрямком на поверхні називається вираз

Нехай напрямок лінії визначається вектором і

вектором ;

 

 

Кутом між двома кривими на поверхні в даній точці називається кут між напрямками даних кривих

 

 

визначимо кут між і , як кут між і , а для цього скористаємось формулою:

, знайдемо :

 

- формула визначення кута між двома кривими на поверхні

визначимо тепер кут між координатними лініями, скористаємось отриманою формулою:

 

; підставимо у формулу

- формула для обчислення кута між двома координатними лініями

Вияснемо при якій умові координатна сітка на поверхні буде ортогональна , тоді .

Отже, для того щоб координатна сітка на поверхні була ортогональною потрібно щоб другий коефіцієнт дорівнював нулю.

 

3) Обчислення площі куска поверхні:

 

Розіб’ємо область Q на n- частин і виберемо на одній з них точку , площа цієї частини . Виберемо тут довільну т. Р і проведемо через неї дотичну площину. Запроектуємо цю частину області на площину, отримаємо плоску частину

Якщо ці малі області ще розбити на частинки і припустити що , то різниця областей і (між їхніми площами) буде мінімальна.

 

Під площею області будемо розуміти:

Із курсу математичного аналізу нам відомо, що, якщо поверхня задана рівнянням

, то площу області Q на даній поверхні обчислюється за формулою:

 

Маємо : - формула обчислення площі куска поверхні

Вияснемо геометричний зміст виразу

додамо дві останні рівності:

Отже ми отримали, що , це є площа паралелограма, побудованого на векторах .

 

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...