Главная Обратная связь

Дисциплины:






Нормальним перерізом поверхні називається переріз поверхні площиною, яка місить нормаль до поверхні в даній точці, причому площина проведена в даному напрямку.



Геодезична кривизна і її обчислення

Нехай задана поверхня , на ній розглянемо криву , т.Р є

побудуємо в точці Р дотичну площину до поверхні,

зпроектуємо ліню на дотичну площину

і отримаємо .

 

Кривизну кривої назвемо геодезичною кривизною лінії на поверхню.

Між кривизною кривої на поверхні, нормальною кривизною і геодезичною кривизною поверхні, існує співвідношення:

 

 

 

 

Головні кривизни на поверхні

Нехай дано поверхню (1)

 

Головними кривизнами на поверхні називаються екстремальні значення нормальної кривизни поверхні.

Для того, щоб визначити головні кривизни поверхні скористаємось формулою для визначення нормальної кривизни : = ,запишемо дону формулу в такому вигляді:

, про диференціюємо отриману рівність по du:

, про диференціюємо тепер цю саму рівність по dv:

, скоротимо отримані рівності на 2:

(2)

 

Система (2) є однорідною, причому du і dv не можуть одночасно дорівнювати нулю, тобто система (2) повинна мати ненульові розв’язки, а це можливо лише тоді, коли визначник системи дорівнює нулю.

(3)

із рівняння (3) визначимо нормальну кривизну, в загальному випадку (3) є квадратичним рівнянням і має два розв’язки, позначимо: - головні кривизни поверхні, запишемо (3) в такому вигляді:

 

Для останнього рівняння застосуємо теорему Вієтта, отримаємо:

поділимо праву і ліву частини рівності на 2:

 

 

Середньою кривизною поверхні (Н) називається пів сума головних кривизн:

 

Повною або Гаусовою кривизною поверхні називається добуток головних кривизн поверхні:





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...