Главная Обратная связь

Дисциплины:






II. Перетин будь-яких двох відкритих множин є відкрита множина.



III. Порожня множина і вся множина R є відкритими множинами.

 

Вважають , що сімейство Ф = { }є топологічною структурою на R, або просто топологією.Таким чином, топологічний простір є пара, яка складається із множини Rі введеної на ній топологічної структури Ф. Топологічний простір позначається через (R, Ф) і лише в тих випадках, коли ясно, про яку топологічну структуру Ф йде мова, топологічний простір (RФ) позначається просто через R.

З аксіоми II слідує, що перетин скінченного числа відкритих множин є відкрита множина.

 

Розглянемо приклади топологічних просторів.

Приклад I.

У довільній нескінченній множині Rвідкритими множинами вважатимемо тільки дві множини — порожню множину і саму множину R. Така топологія називається тривіальною.

Приклад 2.

Нехай R— довільна множина. Відкритими множинами вважатимемо всі підмножини множини R, включаючи порожню множину. Така топологія називається дискретною.

Означення:

Околом точки а топологічного простору R називають будь-яку відкриту множину U R, що містить точку а.

Нехай R— топологічний простір, а М— довільна множина точок цього простору. Точка а М називається внутрішньою точкою множини М, якщо існує такий окіл U точки а, що U М. Має місце наступна теорема.

 

Теорема .

Всі точки відкритої множини є внутрішніми точками. Навпаки, якщо всі точки множини F R топологічного простору (R, Ф) внутрішні, то множина F є відкритою.

Доведення.

Перша частина теореми очевидна, тому доведемо тільки другу частину теореми. Оскільки всі точки множини Fвнутрішні, то для будь-якої точки а цієї множини існує такий окіл U , що U F. Легко побачити, що F = Ua.Згідно аксіоми І, F— відкрита множина.

Теорема доведена.

 

Покажемо, що будь-яка підмножина топологічного простору може бути розглянута як топологічний простір. Справді, нехай (R, Ф)топологічний простір, а М підмножина множини R..

Означення:

Відкритою множиною в Мназвемо будь-яку її підмножину виду

F' F ,деF' - будь-який елемент сімейства Ф. Легкопереконатися в тому, що при цьому визначенні виконуються всі аксіоми I- III топологічного простору, тому ми говоритимемо, що на множині Міндукується (породжується) топологічна структура Ф' = { F' }.

Топологічний простір (М,Ф') називається підпростором топологічного простору (R, Ф)

 

Метричні простори.

Важливим класом просторів, в яких легко може бути задана топологія, є метричні простори (R, ).

Покажемо, що метричні простори є окремим випадком топологічних просторів; точніше, покажемо, що задання метрики в множині Rдозволяє природним чином визначити топологічну структуру в просторі (R, ). Для цього достатньо в (R, ) ввести поняття відкритої множини так, щоб були виконані аксіоми I-III.



Означення:





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...