Главная Обратная связь

Дисциплины:






Множина М простору замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить всі свої граничні точки.



Насправді, якщо М — замкнена множина, то — відкрита множина, тому, згідно теореми про всі точки відкритої множини, маємо, що будь-яка точка а цієї множини є внутрішньою точкою цієї множини і тому має хоч би один окіл , що цілком складається з точок множини . Таким чином, тому а не є граничною точкою множини М. Для доведення зворотного твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження безпосередньо випливає з того, що будь-яка точка цієї множини не є граничною точкою множини М, тому має хоч би один окіл, - що цілком складається з точок множини

Точка а топологічного простору називається межовою точкою множини М, якщо в будь-якому її околі існують як точки множини М, так і точки множини R\М.

Множина всіх граничних точок називається границею множини. Множина всіх внутрішніх і межових точок множини М називається замиканням множини і позначається через .

З цього визначення безпосередньо випливає:

Для будь-якої множини М маємо: .

Якщо , то .

Замикання будь-якої множини М є замкненою множиною.

Для обґрунтування останнього твердження досить показати, що відкрита множина. Але це твердження очевидно випливає з того, що множина не містить ні внутрішніх, ні граничних точок множини М, тому будь-яка його точка є внутрішньою.

Якщо F замкнена множина і , то .

Справедливість цього твердження безпосередньо випливає з того факту, що R \F є відкритою множиною, тому жодна точка цієї множини не може бути ні внутрішньою, ні граничною точкою множини М.

З властивостей 5° і 8° випливає:





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...