Главная Обратная связь

Дисциплины:






Показательные и логарифмические неравенства



Пример 2. Решите неравенство 4х

Решение. Так как = 2-1 и 4х = 2, то исходное неравенство равносильно неравенству 2≥2-1 . Функция у = 2х возрастающая, т, к. 2 > 1. Поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное, равносильно неравенству 2х ≥ -1, то есть х ≥ -0,5.

Ответ: 3.

Пример 3. Найдите число целых отрицательных решений неравенства .

Решение. Неравенство равносильно неравенству

Поскольку <1, то функция у = убывает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 0.5х - 1 -3. Отсюда получаем х -4. Целыми отрицательными решениями неравенства являются четыре числа: -4, -3, -2, -1.

Ответ:4.

Пример 4. Найдите число целых решений неравенства lоg 0,5(х - 2) -2.

Решение. Запишем правую часть неравенства как произведение -2 ∙1 и воспользуемся тождеством 1 = lоgbа, при условии а = 0,5.

Получим:

1оg0,5(х - 2) -2. 1; 1оg 0,5(х - 2) -2 1оg 0,5 0,5;

1оg0,5(х - 2) 1оg 0,5 0,5-2 ; 1оg 0,5(х - 2) lоg 0,5 4.

 

Поскольку 0,5 < 1, то функция у = 1оg 0,5х убывающая, поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное неравенство, равносильно неравенству 0 < х-2 4 (условие 0 < х - 2 получено с учетом области определении логарифмической функции).

 

Отсюда получаем 2 < х 6. Следовательно, х принимает 4 целых значения: 3; 4; 5; 6.

Ответ: 4.

Пример 5. Решите неравенство ln (х- 1) < ln (3х+ 2).

 

Решение. Т. к. е > 1, то функция у = ln х возрастающая, следовательно, данному неравенству равносильна система неравенств

х - 1 < 3х+2, 2х > -3 х >1,5

х - 1 > 0 х > 1 х >1

Итак, решения неравенства составляют интервал (1;+ )

Ответ: ( 1 ; + )


Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов)

 

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Найдем значения переменной, при которых дробь равна нулю: 3х — 6 = 0, х =2. Найдем значения переменной, при которых дробь не имеет смысла: (х — 6) (х + 6) = 0,

х = . Отметим на координатной прямой найденные числа:

-6 2 6 х

На каждом из получившихся промежутков определим знак значений дроби:

при х = 7 имеем > 0; при х = 5 имеем < 0

при х = 0 имеем > 0; при х = -7 имеем < 0.

Отметим эти данные на рисунке

- + - +

-6 2 6 х

Дробь принимает неположительные значения на промежутках ( - ;-6 ) [ 2 ; 6 ]

Ответ: ( - ;-6 ) [ 2 ; 6 ]

 

Пример 7. Вычислите сумму всех натуральных решений неравенства 0

Решение. х - 2 = 0, х = 2

(х - 5)(3х -12) = 0, х =5 или х = 4

2 4 5 х

На крайнем правом промежутке дробь принимает положительные значения, т. к. > 0. совпадающих корней у числителя и знаменателя дроби нет, значит, на полученных промежутках знаки чередуются (см. рис.).



- + - +

2 4 5 х

Решением неравенства будет объединение промежутков (- ;2] (4;5). На этих промежутках находятся два натуральных сила 1 и 2. Сумма этих чисел 1 + 2 = 3

Ответ: 3.

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...