Главная Обратная связь

Дисциплины:






Сыныпта орындалатын тапсырмалар



Сынып

Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері

Алғы сөз

Бұл бағдарламаның мазмұны оқушылардың математикаға деген қызығушылығын оятып, оны тереңірек түсінуге мүмкіндік береді және оқушылар теңсіздіктерді дәлелдеудің әдіс тәсілдерімен , идеяларымен танысады.Жоғарғы сынып оқушылары математиканы жақсы меңгеріп,сәтті жұмыс жасауы үшін алгебралық өрнектерді түрлендіру бөлімін жақсы білуі керек. Теңсіздіктерді дәлелдеу осы бөлімдердің бірі болып табылады. Мектеп математика курсында теңсіздіктер мәселелері өте маңызды болуы себепті оқушылар арасында өткізілетін әртүрлі деңгейдегі конкурстарда, олимпиадаларда теңсіздіктерді шешуге және дәлелдеуге қатысты есептер көптеп кездеседі. Теңсіздіктерді дәлелдеу математикалық сауаттылықпен қатар белгілі бір деңгейдегі математикалық мәдениеттілікті де талап ететіні белгілі. Теңсіздіктерді дәлелдеудің бірнеше тәсілдері бар. Солардың жиі кездесетіндерін және қолданылатындарын атап кетелік:

  • теңсіздікті анықтаманы қолданып дәлелдеу;
  • кері жору тәсілімен дәлелдеу;
  • теріс емес сандардың арифметикалық, геометриялық, гармоникалық және квадраттық орталарының арасындағы байланыстарды қолданып дәлелдеу;
  • математикалық индукция тәсілімен дәлелдеу;

 

 

Күнтізбелік- тақырыптық жоспар.

 

Тақырыбы Сағат саны Оның ішінде
лекция практика
Санды теңсіздік және оның қасиеттері. 0,5 0,5
Санды теңсіздіктерді дәлелдеудің негізгі әдістері.
Айнымалылы теңсіздіктерді дәлелдеудің негізгі әдістері.Коши теңсіздігінің дербес жағдайы және оны қолдану.
Теңсіздіктерді математикалық индукция әдісін қолдану арқылы дәлелдеу.
Айнымалының кез келген мәні үшін Коши теңсіздігі. Коши-Буняков теңсіздігі және оларды қолдану .
Орта шамалар. Классикалық теңсіздіктер.
Жаңа айнымалы енгізу әдісі. Симметриялық және біртекті қасиеттерді қолдану.
Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу
Чебышев теңсіздігі.
Тригонометриялық функцияларға байланысты теңсіздіктер.
Геометриялық теңсіздіктер.
Графикалық әдіс
Теңсіздіктерді қолдану. -
Жалпылама сабақ . (рефераттар қорғау) -
  Барлығы 11,5 22,5

 



Бағдарламаның мазмұны.

 

1 Санды теңсіздіктер және олардың қасиеттері.

Курс мақсаты мен міндеті.

Тарихи мағлұмат. Оң ,теріс және нөл сандары туралы түсінік. Олардың қасиеттері. «Үлкен», «кіші», «үлкен емес» , «кіші емес » мағынасын түсіну. Санды теңдеу мен теңсіздіктердің негізгі жағдайы. Санды теңсіздіктердің қарапайым қасиеттері;санды теңсіздіктерді қосу және ақайту; санды теңсіздіктерді көбейту және бөлу; дәрежелеу, n-ші дәрежелі түбірден шығару.

 

2. Санды теңсіздіктерді дәлелдеудің негізгі әдістері.

Санды теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері:теңсіздіктердің оң және сол жақтарының айырмасы, теңсіздіктердің дұрыстығын анықтау барысында таңбаларын анықтау; сандарды несесе олардың қатынастарын бір санымен салыстару; олардың дәрежелерін салыстыру;оларды аралық сандармен салыстыру; тепе теңдіктерді қолдану; тамаша теңсіздіктерді қолдану т.с.с.

 

3. Айнымалылы теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген есептер.

Коши теңсіздігінің дербес жағдайы және оны қолдану.Мәндес теңсіздіктер. «Қарсы жору» арқылы дәлелдеу; метод усиления или ослабления; тепе- теңдікті қолдану; дәрежесін төмендету; алмастыру әдісі; бағалау әдісі;теңсіздікке қатысты функцияның қасиеттерін пайдалану әдістері.

«Тамаша» теңсіздіктер және олардың қасиеттері.

 

4. Математикалық индукция әдісін пайдалану.

Жалпы индукция әдісі және оны қолдану. Дж. Пеано аксиома жүйесі. Математикалық индукция принципі. Математикалық индукция әдісі бойынша дәлелдеу тәсілдері.

 

5.Айнымалының кез келген санында Коши теңсіздігін қолдану. Коши-Буняков теңсіздігі және оны қолдану.

Айнымалының сан мәні үшін Коши теңсіздігін дәлелдеу. Коши-Буняков теңсіздігін дәлелдеу үшін теореманы қолдану.Теңсіздіктің векторлық жазылуы.

 

 

6. Орта шама. Классикалық теңсіздік.

«Орта шама» мектеп курсында. «Орта шамалар»: арифметикалық орта,геометриялық орта, гармоникалық және квадраттық қатынастар.Орта шамалармен салыструға келтірілген теңсіздіктер.

7. Чебышев теңсіздігі.

Кіріспе. Тарихи мағұлымат. П.Л. Чебышев және оның ғылым жолы. Чебышев теңсіздігі: қарапайым түрі және оны жалпылау, монотонды тізбектер туралы ұғым.

 

 

8. Тригонометриялық функцияларға байланысты теңсіздіктер.

Классикалық тригонометриялық теңсіздіктерді қарастыру.Тригонометриялық функциялары бар теңсіздіктерді дәлелдеу тәсілдері. Тригонометриялық теңсіздіктерді және функцияларды қолданбалы есептерде қолдану.

 

 

9 . Геометриялық теңсіздік.

Жалпы типтік геометриялық теңсіздіктер. Үшбұрыштар теңсіздігі. Үшбұрыштар теңсіздігіне алгебралық есептер.Ауданға байланысты теңсіздіктер. Көпбұрыштар мен шеңберге байланысты теңсіздіктер.

 

10. Теңсіздіктерді қолдану.

Анықталу аймағын және мәндер жиынын табу.Функцияларды зеттеу. Математикалық статистика және экономикадағы теңсіздіктер.Теңсіздіктер құруға және оларды шешуге арналған мәсел есептер.

Сабақ №1

1. Анықтама: нақты a саны , нақты в санынан үлкен (кіші), егер олардың айырмасы a-b –оң (теріс) сан болса.

2. Қасиеттері:

1. Егер a>b және b>c, онда a>c.

2. Егер a>b , онда a+c>b+c.

3. Егер a>b және m>0, онда am>bm.

4. Егер a>b және m<0, онда am<bm.< p=""></bm.<>

5. Егер a>b және b>c, онда a>c.

6. Егер a>b және c>d, онда a+c>b+d.

7. Егер a>b және c>d, онда ac>bd, a,b,c,d>0.

8. Егер a>b , онда an>bn ,a,b 0, .

9. Егер a>b , онда an>bn ,n- тақ.

Теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген есептерді шешкенде көптеген жағдайда шартын қанағаттандыратын a,b сандары үшін a санын , мұндағы , түрінде алған қолайлы болады.

1-мысал. Егер және болса, онда болады.

Дәлелдеу. болғандықтан, , . Сол сияқты

болғандықтан, , . Сондықтан

, себебі

2-мысал. Егер және болса, мұндағы оң болса, онда болады.

Дәлелдеу. болғандықтан, , Сол сияқты

болғандықтан, , . Сондықтан

, сондықтан

 

3. Классикалық теңсіздіктер:

1) ( Коши теңсіздігі)

2)

3)

4)

Тарихи мағұлымат:

(1) теңсіздік француз математигі Огюст Коши есімімен Коши теңсіздігі деп аталады. өрнегі a және b сандарының арифметикалық ортасы ,ал саны осы сандардың геометриялық ортасы деп аталады.Сонымен, теңсіздікмынаны көрсетеді , екі оң санның арифметикалық ортасы, геометриялық ортасынан үлкен екендігін.

Сабақ 2. Айнымалылы теңсіздіктерді дәлелдеудің негізгі әдістері.

F(x,y,z)>S(x,y,z) , бұдай теңсіздікті дәлелдеудің негізгі, F(x,y,z)-S(x,y,z) мына айырманың нөлден үлкен екендігін дәлелдеу. Бұл әдісті қолданған уақытта біз көбінесе екі өрнектің квадраттарының айырымы мен қосындысы,екі өрнектің кубтарының айырымы мен қосындысы, толық және толымсыз квадраттарға келіп тірелеміз. Бұл бізге айырманың таңбасын анықтауға мүмкіндік береді.

Мысалы:

Есеп №1
№1 а2 + b2 ≥ 2ab.

Дәлелдеуі:

a2+ b2 - 2аb = (а – b)2 ≥ 0.

№2

кез келген a және b үшін дәлелдеу керек

Дәлелдеуі:
теңсіздігін алып , екі жағына да –ты қосып , бұдан , немесе , бұдан

Есеп №3. Теңсіздікті шеш:

(x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin2x

Дәлелдеуі:

Айырмасын табамыз: (x+y)(x+y+2cosx)+2 - 2sin2x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos2x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos2x +cos2x= (x+y)2+2(x+y)cosx+ cos2x +cos2x=((x+y)+cosx)2+ cos2x 0.

Тапсырмалар

Теңсіздікті дәлелде:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

2.

3.

4. >2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

8.

Сабақ 3. Математикалық индукция әдісін пайдаланып теңсіздіктерді дәлелдеу.

Құрамында натурал сандары бар теңсіздіктерді дәлелдеу барысында , математикалық индукция әдісін пайдаланмыз. Әдістің негізі: 1) теореманың n=1 болғанда,ақиқат екендігіне көз жеткіземіз; 2)n=k болғанда , теорема ақиқат деп алып,n=k+1 болғанда теореманың ақиқат болатынын дәлелдейміз; 3) Математикалық индукция принципіне сүйеніп және алдыңғы екі қадамды негізге ала отырып, теореманы кез келген n үшін ақиқат деп есептейміз

Мысалы. теңсіздігін дәлелдеу керек

Дәлелдеу жолы: 1) n=2 болғанда , теңсіздік тура : 2) Теңсіздік n=k болғанда тура деп есептейміз : (*) n=k+1, болғанда , теңсіздік тура екендігін дәлелдейміз: . (*) теңсіздігінің екі жағын да

3)1 және 2 қадамдарды негізге алып,теңсіздік кез келген n үшін тура деп қорытынды жасаймыз.

Сыныпта орындалатын тапсырмалар

Математика индукция әдісі бойынша ,теңсіздіктерді дәлелде:

1)

2)

3)

4)

5)

6) .

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...