Главная Обратная связь

Дисциплины:






Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.



Рэлей и Джинс сделали попытку определить испускательную способность абсолютно черного тела исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме, на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия равная – по на электрическую и магнитную энергию волны. В конечном итоге ими была получена формула

, (1.20)

. (1.21)

Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальной кривой лишь для больших длин волн и резко расходится с ней для малых длин волн (Рис. 1.6). Кроме того, интегрирование выражения (1.21) по в пределах от 0 до дает для энергетической светимости бесконечно большое значение.

(1.22)

Этот результат получил название ультрафиолетовой катастрофы. Резкое расхождение между теорией и экспериментом указывало на то, что при выводе формулы Рэлея Джинса были использованы какие то неверные предпосылки.

 

 

Рис. 1.6

 

Формула Планка для испускательной способности абсолютно черного тела.

Правильную зависимость испускательной способности черного тела от частоты получил Планк. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии – квантов, величина которых пропорциональна частоте излучения

, (1.23)

где – постоянная Планка, и .

Обсудим подробнее различие между классическим непрерывным излучением и излучением квантами. Энергия классического осциллятора определяется двумя параметрами амплитудой колебания и частотой. Это означает, что для данной частоты энергия осциллятора может меняться плавно от нуля до сколь угодно большого значения при плавном увеличении амплитуды колебания. В этом смысле говорят о том, что энергия классического осциллятора излучается непрерывно. Согласно формуле (1.23), энергия излучения в квантовом случае зависит только от частоты и – это минимальная порция энергии, которая может быть испущена осциллятором. Если энергия колеблющейся системы становится больше, то она может принимать лишь значения, кратные этой величине

, (1.24)

где - целые числа.

 

Расчет показывает, что при дискретном характере излучения средняя энергия, приходящаяся на каждое электромагнитное колебание, уже не будет равна , как в случае непрерывного излучения. Среднюю энергию излучения, находящегося в состоянии теплового равновесия при температуре , можно вычислить следующим образом.

, (1.25)

где – вероятность того, что энергия колебания имеет значение .



Эта вероятность, очевидно, равна

, (1.26)

где – число осцилляторов, имеющих энергию , – полное число осцилляторов.

В состоянии теплового равновесия распределение колебаний по энергиям подчиняется закону Больцмана

, (1.27)

где – нормировочный множитель, удовлетворяющий условию

. (1.28)

 

Отсюда находим нормировочный множитель

. (1.29)

Подставляя выражение (1.29) в (1.27), получаем

. (1.30)

Тогда среднее значение энергии получим, подставляя вероятность в выражение (1.25)

. (1.31)

Суммирование в (1.31) может быть выполнено, в результате получается выражение для средней энергии теплового излучения при температуре

(1.32)

 

Заметим, что если , то формула (1.32) переходит в классическое выражение . Действительно, используя соотношение , справедливое при , получаем

(1.33)

Таким образом, если бы энергия излучалась непрерывно, то ее среднее значение совпадало бы с классическим результатом.

Подставляя в формулу Рэлея Джинса (1.20), получаем выражение для испускательной способности абсолютно черного тела

. (1.34)

Выражение (1.34) носит название формулы Планка для излучения абсолютно черного тела. Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до .

Заметим, что при условии , формула Планка переходит в формулу Рэлея Джинса.

. (1.35)

Из формулы Планка можно получить также экспериментальные законы теплового излучения: закон Стефана Больцмана и закон смещения Вина. В качестве примера получим из (1.35) закон Стефана Больцмана

. (1.36)

Введем новую переменную интегрирования

, (1.37)

тогда выражение (1.36) примет вид

, (1.38)

где через – обозначен определенный интеграл, который может быть вычислен

. (1.39)

Таким образом, получаем закон Стефана Больцмана

. (1.40)





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...