Главная Обратная связь

Дисциплины:






Формула Тейлора для ф.м.п.



Формула Тейлора для ф-ции неск.переменых.u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М0 [М]

└→(Rk+1(N))

NÎ отр М0М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М0.

;

13. Скалярное поле и его характеристики.Линииур-ня, производые по направлению,градиент скалярного поля.Если каждой точке M пространства ставится в соответствие скалярная величина u(M), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также u(x,y,z) или Поле может быть плоским, если u=u(x,y)центральным (сферическим), если цилиндрическим, если .Поверхности и линии уровня: Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которыхu принимает постоянное значение. Их уравнение: u(x,y,z)=const. В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: u(x,y)=constВ отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые. Производная по направлению и градиент скалярного поля:Пусть единичный вектор с координатами u(x,y,z) - скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции u(x,y,z)и обозначается gradu.Поскольку , где угол между gradu и , то вектор gradu указывает направление скорейшего возрастания поля u(x,y,z) а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента:

 

14. Экстремумы ф.м.п.Локальный экстремум ф.м.п., необходимые и достаточные условия его существования . Наибольшее и наименьшее значение ф.м.п. в огран. замкнутой области.

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0)

Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.Необходимые(1) и достаточное(2) условия существования:(1) Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'x(х0;у0)=0, ƒ'y(х0;у0)=0. Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функции z.Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками(2)Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим



. Тогда:1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А< 0; минимум, если А > 0;2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.3.В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой областиПусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них; 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области; 3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.

15.Условные экстремумы ф.м.п. Методы решения задач на условыне экстремумы.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных z=f(x,y) называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить y=y(x) , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z=f(x,y(x))

Методы решения задач на условный экстремум:

1. Если представляется возможным, то из уравнения связиz=f(x,y) В результате функция преобразуется в функцию одной переменнойx. 2.Метод множителей Лагранжа: Если уравнение (x,y)=0 не разрешимо ни относительно y=y(x) ни относительно x=x(y) , то рассматривают функцию Лагранжа . Необходимым условием существования условного экстремума функции z=f(x,y) при условии (x,y)=0 является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа..

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...