Главная Обратная связь

Дисциплины:






Text 4. Linearized and Spectral Stability



There are two other ways of treat­ing stability. First of all, one can linearize equation (1.7.1); if δu denotes a variation in u and X'(ue)denotes the linearization of X at ue (the matrix of partial derivatives in the case of finitely many degrees of freedom), the linearized equations describe the time evolution of "infinitesimal" distur­bances of ue:

 

d/dt (δu) = X'(ue δu. (1.7.2)

 

Equation (1.7.1), on the other hand, describes the nonlinear evolution of finite disturbances Δu = u – ue. We say that ue is linearly stableif (1.7.2) is stable at δu = 0, in the sense defined above. Intuitively, this means that there are no infinitesimal disturbances that are growing in time. If (δu)0is an eigenfunction of X'(ue), that is, if

X'(ue) · (δu)0= λ(δu)0(1.7.3)

for a complex number λ, then the corresponding solution of (1.7.2) with initial condition (δu)0 is

δu = e(δu)0. (1.7.4)

The right side of this equation is growing when λ has positive real part. This leads us to the third notion of stability: We say that (1.7.1) or (1.7.2) is spectrally stableif the eigenvalues (more precisely, points in the spec­trum) all have nonpositive real parts. In finite dimensions and, under ap­propriate technical conditions in infinite dimensions, one has the following implications:

(stability) => (spectral stability)

and

(linear stability) => (spectral stability).

If the eigenvalues all lie strictly in the left half-plane, then a classical re­sult of Liapunov guarantees stability. (See, for instance, Hirsch and Smale [1974] for the finite-dimensional case and Marsden and McCracken [1976] or Abraham, Marsden, and Ratiu [1988] for the infinite-dimensional case.) However, in many systems of interest, the dissipation is very small and are modeled as being conservative. For such systems the eigenvalues must be symmetrically distributed under reflection in the real and imaginary axes (We prove this later in the text). This implies that the only possibility for spectral stability occurs when the eigenvalues lie exactly on the imagi­nary axis. Thus, this version of the Liapunov theorem is of no help in the Hamiltonian case.

Пояснения к тексту

Слова к тексту

linearized [lınıə´raızd] линеаризованный
partial [´pa:∫l] частный
derivative [dı´rıvətıv] производная
finitely [´faınaıtlı] конечно
degree [dı´gri:] степень
evolution [i:və´lu:∫ən] развитие
infinitesimal [ınfını´tesıməl] бесконечно малый
disturbance [dıs´tз:bəns] возмущение
linearly [´lınıəlı] линейно
eigenfunction [´aıgən´fΛŋk∫ən] собственная функция
solution [sə´lu:∫n] решение
initial [ı´nı∫əl] начальный, исходный
real [rıəl] действительный
spectrally [´spektrəlı] спектрально
eigenvalue [´aıgən´vælju:] собственное значение
spectrum (pl. spectra) [´spektrəm] – [´spektrə] спектр
appropriate [ə´prəuprıət] соответствующий
implication [ımplı´keı∫n] импликация
guarantee [gærən´ti:] гарантировать
finite-dimensional [´faınaıtdı´men∫ənl] конечномерный
infinite-dimensional [´ınfınıtdı´men∫ənl] бесконечномерный
dissipation [dısı´peı∫ən] рассеяние
axis (pl. axes) [´æksıs] – [´æksi:z] ось
imply [ım´plaı] значить, означать

 



4.2.1. Precisely; disturbance

Правила чтения буквы с. – См. 1.2.1.

4.2.2. Eigenfunction; eigenvalues; imaginary

Правила чтения буквы g. – См. 1.2.2.

В словах eigenfunction, eigenvalues корень немецкий, поэтому g читается [g].

4.2.3. Technical

Правила чтения сочетания ch. – См. 1.2.3.

4.2.4. Thus; then; theorem; third

Правила чтения сочетания th. – См. 1.2.4.

4.2.5. Hamiltonian

Написание прилагательных с заглавной буквы.– См. 1.2.6.

4.2.6. Equation

Правила чтения буквы q. – См. 2.2.7.

4.2.7. Guarantee

Правила чтения сочетания gu. – См. 2.2.8.

4.2.8. Above; other

Чтение буквы o как [Λ]. – См. 2.2.9.

4.2.9. Axes

Чтение буквы х. – См. 2.2.13.

4.2.10. Partial; notion; condition

Чтение суффиксов –tion-, -tial-. – См. 2.2.15.

4.2.11. Dimension; version

Чтение суффикса -sion.– См. 2.2.16.

4.2.12. Following; growing

Чтение сочетания ow. – См. 3.2.15.

4.2.13. Matrix; stable

Чтение гласных перед сочетанием взрывного согласного с плавным. – См. 3.2.18.

 

4.2.14. Prove

Чтение буквы о как [u:]

В некоторых словах буква о читается [u:].

 

Задание. Прочитайте и запомните слова со звуком [u:]: move, prove, do, two, lose, who, whose, ´movement, undo, dis´prove, re´move, whom, shoe.

 

4.2.15. Eigenvalues

Чтение ei как [aı]

Сочетание ei произносится [aı]в словах either, neither, height, eigenvalue, eingenfunction.

 

Задание. Прочитайте вслух: neither, weight, weigh, height, either.

 

4.2.16. Half

Непроизносимая буква l после a

Запомните: alf [a:f], alve [a:v], alm [a:m], alk [כ:k] – l не произносится.

 

Задание. Прочитайте вслух: calf, walk, palm, halve, talk, calm, chalk.

 

4.2.17. Solution; evolution

Чтение буквы u в открытом ударном слоге как [u:]

В открытом ударном слоге буква u читается [ju:], но после звуков [l], [r], [dζ] сочетание [ju:] обычно переходит в [u:].

Задание. Прочитайте вслух: rule, evo´lution, disso´lution, ´lucrative, rude, ´ludicrous, ´luminous, ´rudiment, rue, ´rumour, ´Judaism, ´jubilate, ´junior, con´clude, ex´clusion, June.

Грамматика

4.3.1. Matrix; spectrum; axes

Множественное число существительных. – См. 1.3.1.

4.3.2. The time evolution

Сочетание двух и более существительных без предлогов и падежных окончаний. – См. 1.3.3.

4.3.3. Two other ways of treatingstability; the linearizafion of x

Падежи в английском языке. Передача значений русских падежей. – См. 1.3.4.

4.3.4. Later; more precisely

Степени сравнения прилагательных и наречий. – См. 1.3.6.

4.3.5. This leads us; if δu denotes; this means; this implies; that are growing; is growing

Видовременные формы глагола. – См. 1.3.7.

4.3.6. Are modeled; must be distributed

Страдательный залог (Passive Voice). – См. 1.3.8.

4.3.7. One can linearize; must be distributed

Модальные и сходные с ними вспомогательные глаголы. – См. 1.3.10.

4.3.8. As being conservative; the corresponding solution

Передача значения русских причастий и деепричастий. – См. 1.3.11.

4.3.9. We say that…; this means that…; this implies that…; disturbances that are growing in time

What и that в сложноподчиненных предложениях. – См. 1.3.12.

4.3.10. Two other ways; on the other hand

Another, other. – См. 1.3.13.

4.3.11. This leads us…This means that… We prove thisThis implies that…

Указательные местоимения this, that. – См. 2.3.12.

4.3.12. This leads us

Личные и притяжательные местоимения. Перевод слова «свой». – См. 2.3.13.

4.3.13. One can linearize; one has the following implications

One как неопределенное местоимение. – См. 2.3.14.

4.3.14. There are two other ways; there are no infinitesimal disturbances

Перевод слова «есть». Оборот there + to be. – См. 2.3.15.

4.3.15. Are modeled as being conservative

Перевод слова «как». – См. 2.3.18.

4.3.16. Ways of treating stability

Герундий. – См. 2.3.17.

4.3.17. Is of no help

Местоимения some, any, no, every и их производные. – См. 3.3.20.

4.3.18. If δu denotes a variation in u; ue is linearly stable if (1.7.2) is stable

Условные предложения. Союзы as if, as though. – См. 3.3.26.

 

4.3.19. The third notion

Определения, требующие артикля the

Если перед существительным стоит определение, выделяющее данный предмет (лицо) из ряда прочих, употребляется определенный артикль the, т. к. единственность предполагает определенность. Такими определениями являются порядковые числительные (первый, второй), прилагательные в превосходной степени (the biggest самый большой) и некоторые другие прилагательные: the same тот же, такой же, the next, the following следующий, the last последний и т. п.

Артикль the не ставится, если перед сочетанием определения с существительным стоит притяжательное местоимение (my first birthday) или существительное в притяжательном падеже (Mary's first birthday). См. 1.3.6.

 

Внимание: the не ставится перед словами next и last, когда они входят в состав обстоятельства времени: next summer следующим летом. Однако перед next ставится the, если обстоятельство находится в придаточном предложении с согласованием времен (изменением времени в придаточном под влиянием прошедшего времени в главном): He said that he would return the next day. – Он сказал, что вернется на следующий день.

 

Задание. Переведите: последний день, следующая страница, третья парта, самое большое яблоко, прошлой весной, в следующем году (без предлога); она сказала, что уедет (to leave) на следующей неделе.

 

4.3.20. Equation (1.7.1)

Количественные числительные как определения

Если существительное определяется не порядковым (первый, второй…), а количественным (один, два…) существительным ( ср. рус. «дом тридцать пять»), то артикль перед существительным не ставится: Page 5, Lesson 2, Exercise 3.

 

 

4.3.21. Is of no help

Сочетание to be + of

В русском языке бывают именные сказуемые, где главное слово именной части – существительное в родительном падеже: Эти товары (каковы?) высшего сорта. В английском есть аналогичные конструкции с предлогом of: to be of great help – быть в высокой степени полезным.

 

Задание. Переведите: 1) They are of the same kind. 2) It is not of this type.

 

Словообразование

4.4.1. Stability; equation; variation; linearization; freedom; evolution; disturbance; solution; condition; dimension; implication; reflection

Суффиксы, образующие имена существительные. – См. 1.4.1.

4.4.2. Linearized; spectral; partial; initial; positive; technical; classical; imaginary; Hamiltonian; nonlinear; corresponding

Суффиксы, образующие имена прилагательные. – См. 1.4.2.

4.4.3. Linearize

Cуффиксы, образующие глаголы. – См. 2.4.3.

4.4.4. Finitely; linearly; intuitively; precisely; strictly; symmetrically; exactly; spectrally; precisely

Cуффиксы, образующие наречия. – См. 2.4.4.

4.4.5. Nonlinear; nonpositive; infinite; dissipalfom

Приставки и первые элементы сложных слов. – См. 2.4.5.

4.4.6. Guarantees stability

Конверсия. – См. 2.4.6.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...