Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение прямой линии на плоскости



1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат и базисными векторами . Тогда " точка плоскости определяется координатами .

Пусть прямая линия лежит в плоскости и проходит через точку параллельно вектору .

 


M

 
 

 

 


 

Рис.1. Прямая , проходящая через точку

параллельно вектору .

 

Определение 1.Всякий ненулевойвектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Если точка плоскости лежит на прямой, то вектор коллинеарен . Значим, Rтакое, что

. (1)

С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

Таким образом, условие М выполнению уравнения (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.

Если обозначить радиус вектора точек через и соответственно, то и уравнение (1) принимает вид:

, (2)

которое также называется векторным уравнением прямой.

Если , то (2) в координатах принимает вид

(3)

параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении вектора .

Исключая из уравнения (3) параметр t,получаем

(4)

каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение (4) понимается как пропорцию. Тогда, если, например, , то прямая параллельна оси Oy и проходит через точку .

Приведем уравнение (4) к общему знаменателю:

.

Если обозначить , то получим:

(5)

общее уравнение прямой на плоскости.

Так как , то хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.

Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид

где – частное решение уравнения (5) (например, при , частного решения можно выбрать вида , ), – фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точку и имеющей направляющий вектор .



Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если – уравнение прямой, то вектор является направляющим вектором этой прямой.

Если , то из уравнения (5) получаем:

,

т.е.

, где .

Отметим, что в произвольной декартовой системе координат коэффициент не играет роль углового коэффициента (т.е. не равен тангенсу угла наклона прямой к оси ). Например, на рис. 2 прямая имеет уравнение (или в каноническом виде ) и перпендикулярна оси

 

l
y
L

 

 
 

 


 

Рис.2. Прямая в системе координат имеет уравнение .

 

Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки и , то вектор можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид

, (6)

который называется уравнением прямой, проходящей через точки и .

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)..

1. Если А=0, то прямая параллельна оси .

2. Если B=0, то прямая параллельна оси .

3. Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

4. Если A=C=0, то прямая совпадает с осью .

5. Если B=C=0 , то прямая совпадает с осью .

6. Если , то уравнение (5) после деления на можно переписать в виде

,  

который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь и равны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.

2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат .

Утверждение 1.Для того чтобы прямые и , задаваемые соответственно уравнениями

, (7)

и

, (8)

совпадали, необходимо и достаточно, чтобы

. (9)

Доказательство.

|Þ Если прямые l1 и l2 совпадают, то это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. R:

. (10)

Пусть т. принадлежит этим прямым. Тогда

.

Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, в силу (10) имеем , что вместе с (10) эквивалентно (9).

Ü| Пусть выполняется (9). Тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны Þ соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎

Утверждение 2.Прямые и , задаваемые уравнениями (7) и (8) соответственно, параллельны и не совпадают Û

. (11)

Доказательство.

|Þ Если прямые и параллельны и не совпадают, то система несовместна, а это эквивалентно (в силу теоремы Кронекера-Конелли) условию ,

Последнее равносильно условию , что возможно лишь при выполнении (11).

Ü| Из первого равенства (11) Þ что прямые и параллельны, а из второго неравенстваÞ система уравнений (7), (8) несовместна Þ прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎

Следствие(из утверждений 1 и 2). Прямые и пересекаются Û

. (12)

Утверждение 3.Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7), (8), пересекаются в единственной точке . Тогда прямая проходит через точку Û она задается уравнением

, , (13)

являющимся линейной комбинацией уравнений (7), (8).

Доказательство.

Ü| Очевидно, а именно, если уравнение задается (13), то она проходит через точку .

|Þ Пусть проходит через точку и имеет уравнение .

Возьмем на прямой произвольную точку , отличную от точки . Положим . Покажем, что уравнение для пропорционально (13) с выбранными .

Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямым и Þ хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени Þ определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером . Пусть прямые и задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

.

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами – .

Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны Û

(15)

Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

Далее построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Oxи l1– ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.

 

 


p

M

       
 
 
x


Рис.3.

 

 

Пусть прямая и пусть длина , - угол между l1 и . Если т.М лежит на l, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М . Тогда или

, (16)

где - расстояние от т. М до начала координат, - угол между и .

Другими словами, - полярные координаты т. М.

Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где

, .

Здесь - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:

(17)

– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и - координаты орта нормали.

Покажем, что общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : . При этом .

Знак выбирается из условия, что , т.е. если то , и наоборот. Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

 

 

 


           
   
 
 
О
 
 

 

 


Рис.4.

 

Пусть - произвольная точка, . Пусть - направляющий вектор прямой l, , . Очевидно, что расстояние от до l определяется по формуле: , т.е.

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то , а если по одну, то . В первом случае , во втором - .

Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.

Пример. .





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...