Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тема: Диференціальні рівняння у частинних похідних.



Практична робота № 1.

Мета:

1. Ознайомитись з найпростішими властивостями рівняннь у частинних похідних.

2. Навчитися знаходити загальний розв’язок рівняннь у частинних похідних.

Приклади:

Приклад 1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння в частинних похідних , де - невідома функція двох незалежних змінних.

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: Звідси видно, що не залежить від , оскільки частинна похідна від неї по , дорівнює нулю. Тому де - довільна функція від . У рівнянні частинна похідна береться по , а вважається сталою. Узявши інтеграл від лівої і правої частин, одержимо розв’язок поставленої задачі:

де і - довільні функції від . Якщо знайдену функцію двічі продиференціювати по , то одержимо і, отже, знайдена функція є загальним розв’язком даного рівняння.

Приклад 2.Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді: і інтегруючи ліву і праву частини по (вважаючи в цей час сталою), одержимо:

Інтегруючи тепер по x одержане рівняння (вважаючи в цей час у сталою), одержимо:

Тут Таким чином, загальним розв’язком даного рівняння буде функція:

де і - довільні функції, причому диференційована.

Приклад 3.Розв’язати диференціальне рівняння у частинних похідних

Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді і інтегруючи ліву і праву частини по змінній x, одержимо: У цьому рівнянні можна розглядати як звичну похідну по у, а x при цьому вважати параметром. Тоді рівняння перепишеться у вигляді: Ми одержали неоднорідне лінійне рівняння першого порядку. Розв’язуючи його, одержуємо:

Таким чином, де і - довільні функції.

Завдання:

1. Перевірити, що

(( і - функції, двічі диференційовані).

2. Виключити довільні функції і з сімейства:

Відповідь.

Знайти загальний розв’язок наступних диференціальних рівнянь у частинних похідних:

3.

Відповідь.

4.

Відповідь.

5.

Відповідь.

6.

Відповідь.

7.

Відповідь.

8.

Відповідь.

9.

Відповідь.

10.

Відповідь.

11.

Відповідь.

12.

Відповідь.

13.

Відповідь.

14.

Відповідь.

Контрольні питання:

 

1. Як виглядає хвильове рівняння?

2. Як виглядає рівняння теплопровідності?

3. Як виглядає рівняння Пуассона?

4. Як виглядає рівняння Лапласа?

5. Дайте визначення загального розв’язку рівняння у частинних похідних.





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...