Дисциплины:

Тема: Диференціальні рівняння у частинних похідних

Практична робота № 1.

Мета:

1. Ознайомитись з найпростішими властивостями рівняннь у частинних похідних.

2. Навчитися знаходити загальний розв’язок рівняннь у частинних похідних.

Приклади:

Приклад 1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння в частинних похідних , де - невідома функція двох незалежних змінних.

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: Звідси видно, що не залежить від , оскільки частинна похідна від неї по , дорівнює нулю. Тому де - довільна функція від . У рівнянні частинна похідна береться по , а вважається сталою. Узявши інтеграл від лівої і правої частин, одержимо розв’язок поставленої задачі:

де і - довільні функції від . Якщо знайдену функцію двічі продиференціювати по , то одержимо і, отже, знайдена функція є загальним розв’язком даного рівняння.

Приклад 2.Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді: і інтегруючи ліву і праву частини по (вважаючи в цей час сталою), одержимо:

Інтегруючи тепер по x одержане рівняння (вважаючи в цей час у сталою), одержимо:

Тут Таким чином, загальним розв’язком даного рівняння буде функція:

де і - довільні функції, причому диференційована.

Приклад 3.Розв’язати диференціальне рівняння у частинних похідних

Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді і інтегруючи ліву і праву частини по змінній x, одержимо: У цьому рівнянні можна розглядати як звичну похідну по у, а x при цьому вважати параметром. Тоді рівняння перепишеться у вигляді: Ми одержали неоднорідне лінійне рівняння першого порядку. Розв’язуючи його, одержуємо: