Тема: Диференціальні рівняння у частинних похідних.
Практична робота № 1.
Мета:
1. Ознайомитись з найпростішими властивостями рівняннь у частинних похідних.
2. Навчитися знаходити загальний розв’язок рівняннь у частинних похідних.
Приклади:
Приклад 1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння в частинних похідних , де - невідома функція двох незалежних змінних.
Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді: Звідси видно, що не залежить від , оскільки частинна похідна від неї по , дорівнює нулю. Тому де - довільна функція від . У рівнянні частинна похідна береться по , а вважається сталою. Узявши інтеграл від лівої і правої частин, одержимо розв’язок поставленої задачі:

де і - довільні функції від . Якщо знайдену функцію двічі продиференціювати по , то одержимо і, отже, знайдена функція є загальним розв’язком даного рівняння.
Приклад 2.Знайти загальний розв’язок рівняння 
Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді: і інтегруючи ліву і праву частини по (вважаючи в цей час сталою), одержимо:

Інтегруючи тепер по x одержане рівняння (вважаючи в цей час у сталою), одержимо:

Тут Таким чином, загальним розв’язком даного рівняння буде функція:

де і - довільні функції, причому диференційована.
Приклад 3.Розв’язати диференціальне рівняння у частинних похідних 
Розв’язання.Переписавши рівняння у вигляді і інтегруючи ліву і праву частини по змінній x, одержимо: У цьому рівнянні можна розглядати як звичну похідну по у, а x при цьому вважати параметром. Тоді рівняння перепишеться у вигляді: Ми одержали неоднорідне лінійне рівняння першого порядку. Розв’язуючи його, одержуємо:

Таким чином, де і - довільні функції.
Завдання:
1. Перевірити, що 
(( і - функції, двічі диференційовані).
2. Виключити довільні функції і з сімейства: 
Відповідь.
Знайти загальний розв’язок наступних диференціальних рівнянь у частинних похідних:
3. 
Відповідь. 
4. 
Відповідь.
5. 
Відповідь.
6. 
Відповідь.
7. 
Відповідь.
8. 
Відповідь.
9. 
Відповідь.
10. 
Відповідь. 
11. 
Відповідь. 
12. 
Відповідь.
13. 
Відповідь.
14. 
Відповідь. 
Контрольні питання:
1. Як виглядає хвильове рівняння?
2. Як виглядає рівняння теплопровідності?
3. Як виглядає рівняння Пуассона?
4. Як виглядає рівняння Лапласа?
5. Дайте визначення загального розв’язку рівняння у частинних похідних.
|