Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тема: Классификация уравнений в частных производных второго порядка.



Цель:

1. Научиться проводить классификацию уравнений в частных производных

2.Научиться приводить к каноническому виду уравнения в частных производных.

С помощью замены переменных уравнения второго порядка

(2.1)

приведем к одному из простых уравнений. Считая, что коэффициент введем новые независимые переменные где и пока произвольные, но разные (иначе и не будут взаимно независимые функции) числа. Поскольку

и

то имеет место соответствие

Поэтому

Умножим эти вторые производные соответственно на а, 2b и с и потом их составим. Тогда левая часть уравнения ( 2.1 ) имеет вид:

где

Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение Его корнями является В зависимости от значений дискриминанта возможны три случая:

1) если в данной области то уравнение (2.1) принадлежит к гиперболическому типу;

2) если то уравнение (2.1) параболического типа;

3) если то уравнение (2.1) принадлежит к эллиптическому типу.

Дифференциальное уравнение (2.2) называют уравнением характеристикуравнения

(2.3)

После выяснения типа дифференциального уравнения его приводят к каноническому виду при помощи преобразования независимых переменных ( )

(2.4)

Чтобы найти преобразование (2.3) необходимо составить уравнение характеристик (2.2), которое может быть представлено следующим образом:

(2.5)

 

В результате решения уравнений (2.5) получаем общие интегралы, левые части которых дают выражения (2.4), что приводит уравнение (2.3) к каноническому виду.

Решение уравнения характеристик (2.2) зависит от значений дискриминанта.

В связи с этим формулы преобразования (2.4) для каждого из трех типов уравнения находятся следующим образом:

1. - гиперболический тип. Решение системы (2.5) дает два действительных общих интеграла:

(2.6)

Приравнивая левые части общих интегралов (2.6) новым независимым переменным , , получаем формулы преобразования:

2. - параболический тип. Система (2.5) сводится к уравнению: , решение которого дает один действительный общий интеграл:

(2.7)

Формулы преобразования (2.4) в этом случае записываются следующим образом:

где - любая функция независимая от (должно выполняться условие: )

Примечание. Выбирают или

3. - эллиптический тип. Решение системы (2.5) дает два комплексно сопряженных общих интеграла:

(2.8)

Формулы преобразования могут быть получены следующим образом:

Выполняя переход к новым переменным, неизвестную функцию считаем сложной функцией от , , тогда

,

,

Подставив значения производных в уравнение (2.3) получаем канонический вид рассматриваемого уравнения.



Канонический вид уравнения гиперболического типа имеет вид:

 

или

где , .

Канонический вид уравнения параболического типа имеет вид:

- старшей производной может быть - .

Канонический вид уравнения эллиптического типа имеет вид:

.

Пример1. Привести к каноническому виду уравнение

Розв’язання.Тут , , , отже, рівняння належить до гіперболичного типу. Складемо рівняння характеристик . В цьому випадку рівняння характеристик розпадається на два звичайних диференціальних рівняння першого порядку, що запишуться у диференціалах:

.

Загальні інтеграли цих рівнянь знаходяться безпосереднім інтегруванням і можуть бути записані в такий спосіб:

.

Отже, формули перетворення незалежних перемінних, що приводять початкове рівняння до канонічного виду, будуть:

Звідки Перетворимо початкове рівняння до змінних , . Для цього обчислимо: , , , , .

 

,

,

 

Підставивши усі вирази в початкове рівняння і скупувавши відповідні доданки, одержимо:

Отже, канонічний вид початкового рівняння:

 

Упражнения

Привести к каноническому виду уравнение:

1.

Ответ.

2. .

Ответ.

3.

Ответ.

Контрольні питання:

 

1. Общий вид линейных относительно старших производных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

2. Какое дифференциальное уравнение называется линейным?

3. Классификация уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными.

4. Понятие уравнения характеристик для уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными.

5. Какой канонический вид имеет уравнения гиперболического типа?

6. Какой канонический вид имеет уравнения эллиптического типа?

7. Какой канонический вид имеет уравнения параболического типа?





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...