Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тема: Свободные колебания струны с закрепленными концами.



Цель:

1. Научиться формализовать задачу колебаний струны с закрепленными концами.

2. Научиться применять метод Фурье разделения переменных к решению задачи колебаний струны.

 

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Рассмотрим прямоугольную систему координат . Пусть в начальный момент времени струна располагается вдоль оси абсцисс, имеет длину и концы струны закреплены в точках , . Если струну от клонить от ее первоначального положения или придать в начальный момент времени ее точкам некоторую скорость, то говорят, что струна начнет колебаться.

- обозначает отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина зависит от точки струны и от времени .

При каждом фиксированном значении график функции представляет собой форму колеблющейся струны в момент времени (см. рис. 1).

 

Рис. 1 Форма колеблющейся струны с закрепленными концами

 

При изменении форма струны меняется, таким образом, при постоянном значении функция дает закон движения точки с абсциссой вдоль прямой параллельной оси ординат .

При этом - скорость этого движения, - ускорение, - угловой коэффициент касательной к точке с абсциссой .

Задача состоит в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах приводит к следующей математической задаче – требуется найти решение линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами:

 

при начальных условиях:

,

при краевых условиях:

, .

Функции , определены на интервале и .

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...