Главная Обратная связь

Дисциплины:






Решение уравнения колебаний струны методом Фурье



 

Решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , и граничным (краевым) условиям , может быть представлено суммой бесконечного ряда

 

где

, .

Нулевые граничные условия соответствуют колебаниям струны длины , закрепленной в точках и .

При нахождении коэффициентов , используется ортогональность функций : .

 

Пример.

 

Струна длины закреплена на концах. В начальный момент времени она оттянута в точке на расстояние , а затем отпущена без толчка. Методом Фурье определить отклонение точек струны в любой момент времени.

Решение. В поставленной задаче мы имеем дело со свободными колебаниями струны, закрепленной на обоих концах. Ее решение сведется к решению следующей математической задачи. Требуется найти решение уравнения (где , - натяжение струны, а - плотность струны), удовлетворяющее начальным и граничным условиям.

Начальные условия:

,

(струна была отпущена без толчка, значит, начальная скорость ее точек была равна нулю).

Граничные условия: , . Физически они означают, что в точках и струна закреплена.

Вычисляя , получим:

= =

= + = +

Таким образом, , .

Заметим, что при четных , имеем: так как При нечетных имеем

Окончательно для коэффициентов получим формулу: , .

Поскольку в рассматриваемой задаче то Следовательно,

=

Упражнения

1. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму синусоиды и отпущена без начальной скорости. Найти закон колебания струны.

Ответ.

2. Струна с закрепленными концами x=0 и x =l в начальный момент времени имеет форму, определяемую уравнением Начальные скорости точек струны определяются формулой Найти смещение u(x,t)

точек струны.

Ответ.

3. Решить уравнение при нулевых начальных и краевых условиях

Указание. Решение следует искать в виде суммы где v(x) есть решение уравнения удовлетворяющее краевым условиям а w - решение уравнения при условиях

 
 

Ответ.

4. Решить уравнение при нулевых начальных и краевых условиях

Ответ.

5. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и

x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, cимметричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение равно h.

Ответ.

 

Контрольні питання:

 

1. Что в математической физике понимают под струной?

2. В силу какого предположения можно считать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси OX и в одной плоскости.

3. Запишите волновое уравнение.



4. К какой математической задаче сводится изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

5. В чем состоит метод Фурье?

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...