Главная Обратная связь

Дисциплины:






Тема: Змішана задача для неоднорідного хвильового рівняння з нульовими початковими і крайовими умовами. Змішана задача для хвильового рівняння у прямокутнику.



Цель:Навчитися pозв’язувати змішану задачу для неоднорідного хвильового рівняння з нульовими початковими і крайовими умовами та змішані задачі для хвильового рівняння у прямокутнику.

 

Розглянемо змішану задачу на відрізку в наступній постановці - рішити неоднорідне рівняння з нульовими початковими і крайовими умовами:

, ,

при початкових умовах:

і граничних (крайових) умовах:

, .

 

Функція описує вимушені коливання, які скоюються під дією зовнішніх сил при відсутності початкових обурень.

Розв’язання може бути представлене сумою нескінченного ряду:

 

,

де функція знаходиться як рішення наступної задачі:

 

 

Приклад 1 . Розв’язати рівняння за нульових початкових і граничних умов:

, .

Розв’язання. Знайдемо функцію знаходиться як рішення наступної задачі:

 

=1, = .

 

Знайдемо функцію .

= =

 

= = = =

 

=

=

=

Таким чином, = .

Заметим, что при четных , имеем: =0 . При нечетных имеем = .

Розв’яжемо рівняння:

= , при початкових умовах:

.

Маємо лінійне неоднорідне рівняння, характеристичне відповідного однорідного рівняння дорівнює:

,

Розв’язок однорідного рівняння: .Частний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді: . Знайдемо константу , для чого підставимо частне рішення неоднорідного рівняння у саме рівняння, маємо:

.

Таким чином, загальний інтеграл дорівнює:

.

Знайдемо константи , використовуя початкові умови:

, , тобто маємо , .

Загальний інтеграл:

.

Задача має розв’язок:

.

Розглянемо малі коливання однорідної прямокутної мембрани із сторонами і , закріпленої по контуру. Ця задача зводиться до розв’язку хвильового рівняння у прямокутнику в наступній постановці:

, , ,

 

при початкових умовах:

і граничних (крайових) умовах:

, ,

, .

Розв’язання може бути представлене сумою нескінченного ряду:

 

,

 

де функція :

Коеффіціенти , розраховуються як подвійні інтеграли:

 

Приклад 2. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною l, якщо в початковий момент відхилення в кожній точці визначалося рівністю

Початкова швидкість дорівнює нулю. Уздовж контура мембрана закріплена.

Розв’язання.У даному випадку

Отже, , ,

Через ортогональность тригонометричної системи функцій тільки а всі інші .

= = = .

Отже,

Контрольні питання:

 

1.

2.

3.

4.

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...