Главная Обратная связь

Дисциплины:






Схема исследования графика функции



I. а) Найти область определения функции.

б) Установить чётность, нечётность, периодичность функции.

в) Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

г) Определить интервалы непрерывности функции и найти точки разрыва.

II. Определить интервалы монотонности графика функции и найти точки экстремума.

III. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и найти точки перегиба.

IV. Найти асимптоты графика функции.

V. Построить график функции.

Пример 2.9. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

Решение. I. а) Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки x=1, т.е. область определения данной функции

.

Заметим также, что функция может принимать только неотрицательные значения, т.е. y³0.

б) Данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т.е. это функция общего вида.

в) При x=–1 функция будет равна нулю: y(–1)=0, т.е. график функции пересекает ось Ox в точке A(–1;0). При x=0 функция принимает значение y(0)=1, т.е. график функции пересекает ось Oy в точке B(0; 1).

г) Точка x=1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

.

Следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой данной функции.

II. Исследуем функцию на экстремум и определим участки ее монотонности. Для этого вычислим производную:

Определим критические точки функции, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует. Это будут точки x1=–1, x2=1. Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x=–1 производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: y(–1)=0. В точке x=1 производная также меняет знак, однако в этой точке нет экстремума, т.к. эта точка является точкой разрыва. На интервалах (–¥; –1) и (1;+¥) функция убывает, на интервале (–1; 1) – возрастает.

III. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка:

Определим критические точки 2-го порядка, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это будут точки x1=–2, x2=1. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку
x=–2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется точка перегиба: y(–2)=1/9, т.е. точка P(1/9,–2). На интервале (–¥; –2) функция выпукла, на интервале (–2; +¥) – вогнута.

IV. Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где



, .

Таким образом, рассматриваемая функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y=1.

V. Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис.).

 
 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...