Главная Обратная связь

Дисциплины:






Устойчивость линейных динамических объектов



 

Понятия «устойчивость движения системы» является едва ли не самым важным в теории систем. Оно даёт представление о способности системы «противостоять» действию возмущений, которые должны удовлетворять гипотезе: малым возмущениям факторов, от которых зависит движение системы, должно соответствовать малое изменение траектории движения.[5]

В работе для определения устойчивости системы использовался критерий Гурвица.

Критерий Гурвица – один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть – передаточная функция системы, а – характеристическое уравнений системы.

Представим полином в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Составляется определителей Гурвица по следующему правилу:

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определителей Гурвица были положительны.[7]

Передаточная функция исходной математической модели системы:

Её характеристическое уравнение:

Определители Гурвица:

1.3.1. Проблема наблюдаемости (согласование динамического объекта и ИИС)

.

Постановки многих прикладных задач математической обработки предполагают знание текущих значений вектора состояния динамических систем, поскольку только они содержат всю информацию о состоянии и свойствах системы. Эта информация возникает в результате (проведения измерений) наблюдений за поведением координат вектора состояния, но трудно всегда предполагать, что измерениями доступны все координаты. Такие ситуации возникают, например, когда не существует «измерительного канала» ИИС для прямого измерения какой-либо координаты или канал существует, но измерения производятся со столь большими ошибками, что ими лучше не пользоваться.



В соответствии с этим будем предполагать, что существует возможность измерения либо некоторых координат вектора состояния , либо какой-то линейной комбинации координат вектора состояния. Эта комбинация может задаваться, например, линейной регрессионной моделью с матрицей измерения .

Простейший анализ таких ситуаций показывает, что как в первом, так и во втором случаях отсутствует возможность определения (восстановления) всех координат вектора состояния по результатам измерений. Иными словами, система линейных уравнений

неразрешима в каждый текущий момент времени относительно вектора состояния (количество уравнений системы меньше числа координат вектора состояния).

Выход из создавшегося положения состоит в том, что в постановке задач восстановления всех координат вектора состояния динамической системы по результатам измерения его части надо учитывать не только текущие значения измеряемых координат, но и всю предысторию этих измерений, а также существование возможных связей между координатами вектора состояния.

Очевидно, что предыстория измерений и возможные связи между координатами вектора состояния задаются математической моделью динамической системы

,

в которой структура матрицы определяет связи между различными координатами вектора состояния. Но тогда возможность восстановления всех координат вектора состояния по измерениям только их части зависит от свойств пары ( ).

В этой связи первостепенное значение имеет нахождение условий, при выполнении которых задача восстановления всего вектора состояния разрешима.

Для стационарных линейных динамических моделей такое условие состоит в том, чтобы [6]

,

где

– матрица наблюдаемости Р.Калмана;

– степень минимального полинома матрица .

Определение 1.3.1.1.Скалярный полином называется аннулирующим полиномом квадратной матрица , если .

Определение 1.3.1.2.Аннулирующий полином наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным полиномом матрицы .

Определение 1.3.1.3.Минимальный полином матрица определяется формулой , в которой , а – наибольший общий делитель элементов присоединённой к матрицы.

Замечание. Линейная стационарная модель наблюдаема по скалярным измерениям лишь тогда, когда . [8]

Представим исходную математическую модель объекта

в нормальной форме Коши:

Тогда в векторно-матричной форме записи она принимает вид:

где , ,

Найдём минимальный полином матрицы , который определяется соотношением . Для этого сначала найдём порядок полинома :

Следовательно, имеет второй порядок относительно .

Теперь определим . Присоединённая к матрица имеет вид:

.

Минимальный общий делитель этой матрицы является константой, так как в матрице присутствует число. Следовательно, у этого делителя нулевая степень относительно . Отсюда следует, что

.

Таким образом, порядок минимального полинома матрицы равен двум.

Запишем теперь матрицу наблюдаемости Калмана:

Отсюда следует, что

.

Условие наблюдаемости выполняется для данной математической модели.

 

 

1.3.2. Проблема идентифицируемости

“В научном понимании то, что не может быть идентифицировано, не имеет конкретного существования”- Р. Калман (1985) [4])

В абстрактно-теоретическом рассмотрении понятия идентифицируемости, по крайней мере параметрической, является частным случаем наблюдаемости. Однако в практическом применении идентифицируемость представляем собой настолько важное и специфическое свойство, что его целесообразно выделить в специальную категорию. Параметрическая идентифицируемость представляет собой возможность определения параметров математической модели системы или процесса по результатам измерения определённых выходных величин в течение некоторого интервала времени. [5]

Модель линейной однородной системы имеет вид

,

где – вектор состояния, .

В рамках проблемы идентифицируемости представляет интерес лишь свободное движение, которое определяет динамические свойства системы:

.

Определение 1.3.2.1. Линейная однородная система называется полностью идентифицируемой по вектору состояния, если при заданном векторе начальных условий матрица параметров может быть однозначно восстановлена за конечный отрезок времени идентификации по одной временной последовательности .

Иначе, пара полностью идентифицируема или идентифицируема вполне, когда множество пар , объединённых общностью интегральной кривой , , вырождается в точку . В противном случае указанная пара неидентифицируема.

Критерий параметрический идентифицируемости напоминает критерии управляемости и наблюдаемости. Докажем это в рамках следующей теоремы идентифицируемости.

Теорема 1.3.2.2.Необходимое и достаточное условие полной идентифицируемости пары состоит в следующем [1]

,

где

– матрица идентифицируемости однородной системы.

Представим исходную математическую модель объекта

в нормальной форме Коши:

Тогда в векторно-матричной форме записи она принимает вид:

где , ,

В рамках проблемы идентифицируемости представляют интерес только свободные движения системы:

Условие идентифицируемости для такой системы примет вид

.

Найдём матрицу идентифицируемости :

.

Следовательно, условие идентифицируемости выполняется.

1.4. Сведение математических моделей динамических объектов к «эквивалентным» регрессионным

 

Простота регрессионных моделей делает заманчивой идею сведения при некоторых приемлемых допущениях математических моделей линейных стационарных динамических объектов к эквивалентным регрессионным. Существует, по крайней мере, два подхода к решению такой задачи.

Первый подход обычно связывается с представлением математических моделей линейных динамических объектов конечного порядка в разностной форме. Второй же использует возможность разложения вектора состояния динамического объекта в ряд Тейлора, учитывающий только первые два члена. При этом «коэффициентом» при втором члене служит матрица чувствительности, элементами которой являются функции параметрической чувствительности, удовлетворяющие некоторым дифференциальным уравнениям, называемым уравнениями чувствительности. [8]

В данной работе был использован второй подход.

Представим исходную математическую модель объекта

в нормальной форме Коши:

Тогда в векторно-матричной форме записи она принимает вид:

где , ,

Априорные значения неизвестных параметров заданы и близки к истинным значениям, а задача математической обработки состоит в том, чтобы по результатам измерений уточнить эти значения , где

Разложение в ряд Тейлора в окрестности априорных значений параметров с сохранением только линейных членов имеет вид

Но тогда, учитывая, что , будем иметь:

или

 

Обозначив , получим

Учитывая, что измерения проводятся в различные моменты времени, получим систему уравнений вида:

Модель системы измерений будет иметь вид:

где

.

Эта модель является регрессионной и линейной относительно приращения вектора параметров

Элементы матрицы измерений являются функциями параметрической чувствительности удовлетворяющие системе линейных дифференциальных уравнений

Задание нулевого начального условия для функции параметрической объясняется тем, что функция параметрической чувствительности определяет влияние изменения величины выбранного параметра на изменение соответствующей координаты вектора состояния динамической системы, но в начальный момент времени t =0 параметр ещё не успел измениться, следовательно, и координата вектора состояния также не изменится.

Для рассматриваемой в данной работе модели система примет вид:

Для упрощения записи введём обозначения:

Тогда система уравнений чувствительности примет вид:

Зададим начальные условия для последующего численного решения системы дифференциальных уравнений:

.

Тогда регрессионная модель измерений примет вид:

 

где





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...