Главная Обратная связь

Дисциплины:






Равносильность уравнений



Решение уравнений и неравенств

Уравнения и системы уравнений

Основные определения

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной , если поставлена задача найти все такие значения переменной , при которых выражения и принимают равные числовые значения.

Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что их нет.

Так, уравнение имеет единственный корень , поскольку только при получается верное равенство 8=8. Уравнение имеет два корня: 1 и 3. Уравнение не имеет действительных корней (т. е. корней, являющихся действительными числами).

Существует 3 основных метода решения уравнений: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод. Первые два метода будут рассмотрены в этой главе, последний – в главе, посвященный функциям и их графикам.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения и равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число 5. Равносильны уравнения и - каждое из них имеет по два корня: , . Равносильны и уравнения и - ни одно из них не имеет корней. Уравнения и неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема. 2.1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению .

Теорема. 2.2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнения и равносильны: обе части исходного уравнения умножили на одно и то же число 3.

Заметим, что теорема 2.1 справедлива в более общем виде: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение , имеющее смысл при всех и ни при каких не обращающееся в 0, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнения и равносильны: обе части исходного уравнения умножили на одно и то же выражение , имеющее смысл при всех и ни при каких не обращающееся в нуль.



Теорема. 2.3. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень или из обеих частей уравнения извлечь корень одной и той же нечетной степени, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнения и равносильны — из обеих частей исходного уравнения мы извлекли корень третьей (нечетной) степени.

Теорема. 2.4. Если обе части уравнения неотрицательны при всех , то после их возведения в одну и ту же четную степень получится уравнение, равносильное данному.

Например, равносильны уравнения и при .





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...