Главная Обратная связь

Дисциплины:






Уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.



Уравнение плоскости имеет вид: , где , , и – числовые коэффициенты.

Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки , и

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на . Получим:

Мы можем переписать это уравнение в виде:

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в уравнение плоскости .

Получим систему уравнений:

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что равно 8. на ребре взята точка так, что равно 8. Написать уравнение плоскости :

Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, поместим призму в систему координат:

Запишем координаты точек: , ,

Подставим их в систему уравнений:

, Отсюда: , ,

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим:

Ответ: уравнение плоскости

Угол между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты направляющих векторов данных прямых.

3. По формуле косинуса угла между векторами находим косинус угла между направляющими векторами.

Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен модулю косинуса угла между напрвляющими векторами.

В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми и :

1. Введем систему координат:

2. а) Найдем координаты направляющего вектора прямой , для этого найдем координаты точек и .

Длину отрезка найдем по тереме косинусов из треугольника :

;

Чтобы найти координаты вектора , из координат конца вычтем координаты начала. Получим:

б) Найдем координаты направляющего вектора прямой , для этого найдем координаты точек и

, ,

3. Найдем косинус угла между векторами и .

Ответ:

Решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям.



Основание прямой четырехугольной призмы – прямоугольник , в котором , . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми и равно 5.

Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.

Заметим несколько важных вещей:

1. Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой , не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.

2. Прямые и лежат в параллельных плоскостях и , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда .

3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:

Вспомним, что

1. В уравнении плоскости коэффициенты являются координатами вектора нормали к плоскости.

2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)

Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором ( по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой ) и вектором (это вектор нормали к плоскости основания).

Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:

Найдем координаты вектора : , ,

Пусть - угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой .

Тогда Ответ:

Угол между прямой и плоскостью c помощью методом координат.

1. Уравнение плоскости имеет вид

2. Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

3. Косинус угла между векторами и вычисляется по формуле:





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...