Главная Обратная связь

Дисциплины:






Исследование среднеквадратичного приближения функций.



Отчет по лабораторной работе №2

“ Методы построения приближающего полинома”

 

 

Выполнил студент гр. 23424/1: Колупаев В. А.

(подпись)

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014г.

Исследование интерполирования функций.

2.1. Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома

различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При

построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать

изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка

полинома.

Условия проведения эксперимента:

Порядок полинома: 5

Функция Y= Sin(x)/x

Интервал интерполирования [-1;7]

Координаты узла Уклонение в узлах интерполяционной сетки
  Метод Ньютона Метод Лагранжа Метод неопр. коэф.
Х(1)= -0.893 0.0 0.0 0.0
Х(2)= 0.171 0.0 0.0 0.0
Х(3)= 1.964 -5.55E-17 0.0 0.0
Х(4)= 4.035 3.61E-16 0.0 -2.49E-16
Х(5)= 5.828 -1.15E-15 0.0 -9.28E-16
Х(6)= 6.863 1.85E-15 0.0 -3.08E-15

Вывод: При интепролировании функции на интервале [-1; 7] наименьменьшим уклонением в узлах интерполяционной сетки обладает полином, составленный методом Лагранжа, а наибольшим – метод неопределенных коэффициентов.

Зависимость числа обусловленности от порядка полинома:

Порядок полинома Число обусловленности
21.89
2.23Е+04
1.41Е+07

Вывод: с увеличением порядка интерполяционного полинома ухудшается обусловленность матрицы системы.

2.2. Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки.

(В данном пункте использовался метод Ньютона)

  Функция   Порядок   Интервал Среднеквадратич. уклонение на сетке:
Чебышева Равномерной
  Y=|x|     [ -1,7] 0.694 0.832
[-4 ,1 ] 0.401 0.448
[ -1,7] 0.187 0.270
[-4 ,1 ] 0.272 0.515
    Y= Sin(x)/x [ -1,7] 0.142 0.214
[-4 ,1 ] 0.021 0.032
[ -1,7] 0.016 0.035
[-4 ,1 ] 6.55E-04 1.46E-03

Вывод:Как видно из полученных данных, с ростом степени полинома погрешность интерполирования уменьшается. Это связано с более точным описанием функции полиномом. Кроме того, погрешность интерполирования больше на равномерной сетке, чем на чебышевской.



 

 

2.3. Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных

Условия проведения эксперимента:

Порядок полинома: 3

Функция Y= Sin(x)/x

Интервал интерполирования [-1; 7]

 

 

Чебышевская сетка

Возмущение, % Максимальное уклонение Среднекв. уклонение
0.1422 0.0712
0.1648 0.0709
0.180 0.0938
0.507 0.2073

Равномерная сетка

Возмущение Максимальное уклонение Среднекв. уклонение
0.214 0.104
0.229 0.108
0.222 0.127
0.3413 0.1139

 

Вывод: из полученных данных можно сделать вывод, что метод устойчив. Внесенные возмущения незначительно влияют на ошибку интерполирования.

Исследование среднеквадратичного приближения функций.

3.1. Для двух функций, монотонной и имеющей экстремум на интервале приближения, решить задачу приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени; при двух различных порядках приближающего полинома исследовать зависимость погрешности решения (равномерной и среднеквадратичной) от величины массива исходных данных.

 

 

Задача приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени:

  Порядок полинома Y=1/(1+25*x*x) [-2;4] Y=|x| [-5;2]
Число обусловленности Модуль наибольшего уклонения Число обусловленности Модуль наибольшего уклонения
0.7639 0.768
0.7285 0.435
0.7137 0.425
- - 0.331
2.01E+07 0.611 - -

 

Исследование зависимости погрешности решения от величины массива исходных данных для функции Y=|x|:

Число точек дискретизац. Порядок полинома Порядок полинома
  Модуль наибольшего уклонения Среднеквадратичное уклонение Модуль наибольшего уклонения Среднеквадратичное уклонение
0.4552 0.15544 0.34701 0.10847
0.4355 0.14529 0.33141 0.10379
0.4329 0.14509 0.32991 0.10378
0.4319 0.14504 0.32467 0.10494

Вывод:Из полученных результатов видно , что с увеличением числа точек дискретизации диапазона уменьшается модуль наибольшего уклонения, причем с увеличением порядка системы убывание происходит быстрее, а также с увеличением числа точек дискретизации диапазона растет значение среднеквадратичного уклонения. Можно отметить, что среднеквадратичное уклонение сильно зависит от порядка матрицы: оно уменьшается при росте порядка системы.

3.2. Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.


Условия проведения эксперимента:

Интервал [-5;2], порядок 5, число точек дискретизации диапазона 100, функция Y=|x|

Возмущение, % Модуль наибольшего уклонения Среднеквадратичное уклонение
0.326233 0.100928
0.326989 0.102559
0.328641 0.11767
0.377005 0.09948
0.46185 0.17602

Вывод: Из полученных результатов видно, что при увеличении возмущения исходных данных увеличивается модуль наибольшего уклонения, а так же растет среднеквадратичное уклонение. При внесении возмущений более 10% начинают происходить скачки в изменении этих величин, закономерность которых невозможно отследить.





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...