Исследование среднеквадратичного приближения функций.

Отчет по лабораторной работе №2

“ Методы построения приближающего полинома”

Выполнил студент гр. 23424/1: Колупаев В. А.

(подпись)

Санкт-Петербург

2014г.

Исследование интерполирования функций.

2.1. Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома

различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При

построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать

изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка

полинома.

Условия проведения эксперимента:

Порядок полинома: 5

Функция Y= Sin(x)/x

Интервал интерполирования [-1;7]

Вывод: При интепролировании функции на интервале [-1; 7] наименьменьшим уклонением в узлах интерполяционной сетки обладает полином, составленный методом Лагранжа, а наибольшим – метод неопределенных коэффициентов.

Зависимость числа обусловленности от порядка полинома:

Вывод: с увеличением порядка интерполяционного полинома ухудшается обусловленность матрицы системы.

2.2. Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки.

(В данном пункте использовался метод Ньютона)

Вывод:Как видно из полученных данных, с ростом степени полинома погрешность интерполирования уменьшается. Это связано с более точным описанием функции полиномом. Кроме того, погрешность интерполирования больше на равномерной сетке, чем на чебышевской.

2.3. Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных

Условия проведения эксперимента:

Порядок полинома: 3

Функция Y= Sin(x)/x

Интервал интерполирования [-1; 7]

Чебышевская сетка

Равномерная сетка

Вывод: из полученных данных можно сделать вывод, что метод устойчив. Внесенные возмущения незначительно влияют на ошибку интерполирования.

Исследование среднеквадратичного приближения функций.

3.1. Для двух функций, монотонной и имеющей экстремум на интервале приближения, решить задачу приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени; при двух различных порядках приближающего полинома исследовать зависимость погрешности решения (равномерной и среднеквадратичной) от величины массива исходных данных.

Задача приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени:

Исследование зависимости погрешности решения от величины массива исходных данных для функции Y=|x|:

Вывод:Из полученных результатов видно , что с увеличением числа точек дискретизации диапазона уменьшается модуль наибольшего уклонения, причем с увеличением порядка системы убывание происходит быстрее, а также с увеличением числа точек дискретизации диапазона растет значение среднеквадратичного уклонения. Можно отметить, что среднеквадратичное уклонение сильно зависит от порядка матрицы: оно уменьшается при росте порядка системы.

3.2. Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.

Условия проведения эксперимента:

Интервал [-5;2], порядок 5, число точек дискретизации диапазона 100, функция Y=|x|

Вывод: Из полученных результатов видно, что при увеличении возмущения исходных данных увеличивается модуль наибольшего уклонения, а так же растет среднеквадратичное уклонение. При внесении возмущений более 10% начинают происходить скачки в изменении этих величин, закономерность которых невозможно отследить.