![]() Дисциплины:
|
Исследование среднеквадратичного приближения функций.12
Отчет по лабораторной работе №2 “ Методы построения приближающего полинома”
Выполнил студент гр. 23424/1: Колупаев В. А. (подпись)
Санкт-Петербург 2014г. Исследование интерполирования функций. 2.1. Провести сравнение качества построения интерполяционного полинома различными методами (критерий - уклонение в узлах интерполяционной сетки). При построении полином методом неопределенных коэффициентов зафиксировать изменения значений числа обусловленности интерполяционной матрицы от порядка полинома. Условия проведения эксперимента: Порядок полинома: 5 Функция Y= Sin(x)/x Интервал интерполирования [-1;7]
Вывод: При интепролировании функции на интервале [-1; 7] наименьменьшим уклонением в узлах интерполяционной сетки обладает полином, составленный методом Лагранжа, а наибольшим – метод неопределенных коэффициентов. Зависимость числа обусловленности от порядка полинома:
Вывод: с увеличением порядка интерполяционного полинома ухудшается обусловленность матрицы системы. 2.2. Провести исследование погрешности интерполирования для 2-3 модельных функций, отличающихся свойствами гладкости и монотонности на интервале интерполирования; выявить зависимость погрешности от порядка интерполяционного полинома, от величины интервала, от типа сетки. (В данном пункте использовался метод Ньютона)
Вывод:Как видно из полученных данных, с ростом степени полинома погрешность интерполирования уменьшается. Это связано с более точным описанием функции полиномом. Кроме того, погрешность интерполирования больше на равномерной сетке, чем на чебышевской.
2.3. Исследовать устойчивость решения задачи интерполирования к погрешности исходных данных (значений функции в узлах сетки); зафиксировать значения уклонений в узлах, значения погрешности интерполирования (в равномерной метрике) на чебышевской и равномерной сетках; сравнить эти данные с результатами аналогичных экспериментов при отсутствии возмущения исходных данных Условия проведения эксперимента: Порядок полинома: 3 Функция Y= Sin(x)/x Интервал интерполирования [-1; 7]
Чебышевская сетка
Равномерная сетка
Вывод: из полученных данных можно сделать вывод, что метод устойчив. Внесенные возмущения незначительно влияют на ошибку интерполирования. Исследование среднеквадратичного приближения функций. 3.1. Для двух функций, монотонной и имеющей экстремум на интервале приближения, решить задачу приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени; при двух различных порядках приближающего полинома исследовать зависимость погрешности решения (равномерной и среднеквадратичной) от величины массива исходных данных.
Задача приближения полиномами 2-й, 3-й, 4-й и максимально достижимой степени:
Исследование зависимости погрешности решения от величины массива исходных данных для функции Y=|x|:
Вывод:Из полученных результатов видно , что с увеличением числа точек дискретизации диапазона уменьшается модуль наибольшего уклонения, причем с увеличением порядка системы убывание происходит быстрее, а также с увеличением числа точек дискретизации диапазона растет значение среднеквадратичного уклонения. Можно отметить, что среднеквадратичное уклонение сильно зависит от порядка матрицы: оно уменьшается при росте порядка системы. 3.2. Исследовать устойчивость решения задачи среднеквадратичного приближения к погрешности исходных данных. Критерием может служить отличие величин погрешности аппроксимации (среднеквадратичной и равномерной), полученных при наличии и отсутствии возмущений.
Интервал [-5;2], порядок 5, число точек дискретизации диапазона 100, функция Y=|x|
Вывод: Из полученных результатов видно, что при увеличении возмущения исходных данных увеличивается модуль наибольшего уклонения, а так же растет среднеквадратичное уклонение. При внесении возмущений более 10% начинают происходить скачки в изменении этих величин, закономерность которых невозможно отследить. 12 |