Главная Обратная связь

Дисциплины:






Математический маятник



Это тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.

В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести

Fτ = –mg sin φ

Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а

Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; собственная частота малых колебаний математического маятника: , где l ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения.

3) Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис.).

Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия: M = –(mg sin φ)d.

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Знак «минус» в этой формуле означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний



M = –mgdφ.

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид

Iε = M = –mgdφ

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно,

Уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника - это уравнение свободных гармонических колебаний

- приведенная длина физического маятника, т.е. длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Свободные затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени

Вследствие внутреннего трения, сопротивления воздуха и т.п. энергия W колебательной системы постепенно уменьшается. Поскольку W ~ А, то амплитуда А уменьшается до нуля.

График затухающих колебаний

Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости и направлена противоположно ей:

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкого трения β, т. е. если
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

y отклонение метр
y0 начальная амплитуда метр/сек
e = 2.718… основание натуральных логарифмов  
δ = β/2m коэффициентом затухания 1/сек
t время сек
ωзат круговая частота затухающих колебаний радиан/сек
φ0 начальная фаза радиан
φ фаза радиан

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний

­Отношение двух последовательных значений амплитуды остается постоянным.

Чем меньше силы трения в системе, тем медленнее затухают колебания, тем лучше колебательная система. Для характеристики качества колебательной системы вводится ряд параметров:

-Время релаксации затухающих колебаний (за t амплитуда уменьшается в e раз):

-Логарифмический декремент затухания:

N - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз. Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π. Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы Добротность колебательной системы:

W(t) - энергия (полная) колебательной системы в момент времени t.

 

Вынужденные колебания — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки.

Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ωt. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой. Резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия

y отклонение, метр
u скорость, метр/сек
a ускорение, метр/сек2
t время, сек
m масса колебательной системы, кг
D жесткость, Ньютон/метр
β коэффициентом вязкого трения, кг/сек
δ коэффициентом затухания радиан/сек
Fmax.возм максимальное значение возмущающей силы Ньютон
ω угловая частота колебаний возмущающей силы радиан/сек
ω0 угловая частота незатухающих колебаний системы радиан/сек

На колебательную систему действуют три силы:

Основной закон динамики в этом случае:

После подстановки:

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Частное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний:

Решение дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородно уравнения:

a Мгновенное ускорение, метр / секунда2
Am максимальное ускорение в точке поворота (амплитуда ускорения), метр / секунда2
ω Угловая частота радиан / секунда
f Линейная частота Герц
φ фаза радиан
t время секунда

 

Резонанс- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы

На рисунке показана зависимость Ym от ω (резонансная кривая). Параметром служит коэффициент затухания δ.

Частота резонанса:

 

 

Фазовые резонансные кривые :

Зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы при различных δ

Где

 

Энергия системы, колеблющейся без затухания (энергия вынужденных колебаний), остается постоянной. Она складывается из потенциальной энергии Wп и кинетической энергии Wк. Величины обеих энергий меняются периодически, но в каждый момент

В процессе колебаний потенциальная энергия превращается в кинетическую и наоборот. При этом полная энергия остается постоянной. Процесс перехода энергии из одного вида в другой носит периодический характер. В точке поворота и при прохождении положения равновесия энергия одного вида равна нулю, в то время как энергия другого вида достигает максимума.

 





sdamzavas.net - 2019 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...