Главная Обратная связь

Дисциплины:






Порядок выполнения работы. 1. Записать словесную постановку задачи в соответствии с заданием варианта, выданного преподавателем.



1. Записать словесную постановку задачи в соответствии с заданием варианта, выданного преподавателем.

2. Составить аналитическую модель описания задачи.

3. Разработать математическую модель решения.

4. Решить задачу с исходными данными, соответствующими вашему варианту.

5. По выходным данным построить график зависимости выходного параметра по времени в указанном интервале.

 

 

Пример расчета

 

Условие. В аппарат с мешалкой вместительностью V = 3 м3 поступает объемный поток n = 0,7 м3/ч (см. рис. 1). Концентрация некоторого вещества в потоке составляет свх. Начальная концентрация этого же вещества в аппарате c(0) = cн = 0.

Определить концентрацию вещества на выходе из аппарата cвых(t) в течении времени T = 2 ч при условии, что процесс перемешивания происходит в цилиндрическом аппарате со сферическим дном в условиях больших скоростей работы мешалки, а концентрация вещества во входном потоке cвх зависит от времени и изменяется по следующему закону: .

Решение

 

1. Словесная постановка задачи.

Исходными данными рассматриваемого процесса являются:

- вместительность аппарата идеального смешения V = 3 м3;

- объемный поток n = 0,7 м3/ч;

- закон изменения концентрации вещества во входном потоке ;

- начальная концентрация вещества в аппарате c (0) = cн = 0;

- исследуемый интервал времени T = [0, 2].

 

2. Синтез аналитической модели описания.

Рассматривается аппарат идеального смешения, т. е. вещество, поступающее в аппарат (см. рис. 1), мгновенно распределяется по всему объему аппарата и не происходит завихрений потока и налипания поступающего вещества на стенки аппарата, то математическая модель процесса идеального перемешивания может быть представлена в виде следующей системы:

(2)

 

3. Разработка модели решения.

Математическая модель рассматриваемого процесса записана в виде дифференциального уравнения 1-го порядка с начальным условием (2).

 

4. Выполнение задания в среде MathСAD.

Для решения дифференциальных уравнений применяется метод Рунге - Кутта 4-го порядка из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

В методе Рунге - Кутта 4-го порядка следующее приближение функции рассчитывается по алгоритму

 

U(t+dt) = U(t) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6,

 

где k1 = F(U,t)dt;
k
2 = F(U+k1/2, t+dt/2)dt;
k
3 = F(U+k2/2, t+dt/2)dt;
k
4 = F(U+k3, t+dt)dt.



 

Для решения дифференциальных уравнений используются функции rkfixed и Rkadapt:

- rkfixed для поиска решения использует метод Рунге - Кутта 4-го порядка с постоянным шагом.

- Rkadapt для поиска решения использует метод Рунге -Кутта 4-го порядка с переменным шагом.

В результате решения получается матрица, имеющая два столбца:

1) Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения.

2) Второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функции rkfixed и Rkadapt имеют следующие аргументы:

1) у - вектор начальных условий размерности п, где п - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);

2) xl, х2- граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия - это значение решения в точке x1, заданные в векторе у;

3) npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1 + npoints) вматрице, возвращаемой функцией rkfixe;

4) D(x,y) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Обращение к функциям имеет вид

rkfixed ( у, xl, x2, npoints, D);

Rkadapt (у, xl, x2, npoints, D).

Для решения задачи в среде Mathcad достаточно ввести исходные данные, написать формулы для вычисления правой части уравнения и вызвать функцию решения дифференциального уравнения (рис. 3).

Рис. 3. Обращение к функции Rkadapt

 

Через переменную w (см. рис. 3) обозначен объемный поток, с – начальная концентрация исходного вещества. Если решение поставленной задачи обозначить через z, то для вывода на экран таблицы решений достаточно ввести выражение “z= “ после обращения к функции Rkadapt. На экран будет выведена таблица решений (рис. 4).

 

Рис. 4. Исходные данные и результат решения

 

5. Построение графика.

Для построения графика, полученного решения, достаточно в панели инструментов «График» дважды щелкнуть кнопку «Вычерчивание X-Y» (рис. 5).

Рис. 5. Макет графика

 

Для построения графика в позиции оси абсцисс и ординат необходимо ввести обозначение столбцов параметра и функции (рис. 6).

 

Рис. 6. Зависимость концентрации от времени

 

Контрольные вопросы и задания

1. Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального перемешивания?

2. Каковы начальные условия процесса идеального перемешивания?

3. Как записывается модель решения для процесса идеального перемешивания?

4. Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?

5. Расскажите об алгоритме метода Рунге - Кутта.

6. Какие функции используются в MathCAD для решения дифференциальных уравнений?

7. Расскажите о способах построения графиков в MathCAD.

 

 





sdamzavas.net - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...