Главная Обратная связь

Дисциплины:






Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків



1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність-непарність.

3. Знайти вертикальні асимптоти.

4. Дослідити поведінки функції на нескінченності, знайти горизонтальні та нахилені асимптоти.

5. Знайти екстремуми і інтервали монотонності функції.

6. Знайти інтервали опуклості та угнутості і точки перетину.

7. Знайти точки перетину з осями координат і, можливо, деякі додаткові точки, які уточнюють графік функції.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

1. Область визначення. Розрив у точці . Отже .

2. Перевірка парності. . Це означає, що дана функція не буде ні парною, а ні непарною.

3. Знайдемо вертикальні асимптоти: . Це означає, що дана функція має вертикальну асимптоту .

4. Знайдемо нахилені та горизонтальні асимптоти :

,

Отже – горизонтальна асимптота.

5. Знайдемо екстремуми:

.

Звідси а отже – точка екстремуму.

Результати досліджень зведено в табл. 2

Таблиця 2

x (0;1)
+ не існує
f(x) не існує

Таким чином задана функція на інтервалі – зростає, а на інтервалах і – спадає. В точці приймає мінімальне значення

6. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості і точки перегину за допомогою другої похідної:

.

З умови рівності другої похідної нулю знаходимо: ® . З нижче наведеної табл. 3 видно, що ця точка є точкою перегину. Графік досліджуваної функції наведено на рис. 9.

Таблиця 3

x
+ не існує +
f(x) точка перегину не існує

Приклад 2.Дослідити та побудувати графік функції , яка називається логістичною кривою. В економіці її використовують для визначення тенденції росту виробництва предметів споживання. Дослідження провести при .

Розв’язання:

1) область визначення функції: уся дійсна числова вісь;

2) точки розриву відсутні;

3) вертикальні асимптоти відсутні, але є горизонтальні вигляду :

ln2
, ,

, .

Таким чином крива має дві горизонтальні асимптоти: – правостороння і – лівосто­рон­ня;

4) точки перетину з віссю абсцис відсутні, функція додатна для всіх х;

5) похідна для всіх х, це означає, що функція зростаюча у всій області, а отже не має екстремумів;

6) друга похідна при , це означає, що точка з координатами є точкою перегину, оскільки друга похідна міняє знак при переході через точку з абсцисою ;

7) точка перетину графіка функції з віссю ординат: ;

8) графік функції подано на рис. 10.





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...