Главная Обратная связь

Дисциплины:






Канонічне та параметричне рівняння прямої



 

Нехай в системі координат задана точка і ненульовий вектор (рис.7).

рис.7.

Необхідно скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору , що називається напрямним вектором. Довільна точка належить цій прямій тоді і тільки тоді, коли . Оскільки вектор – заданий, а вектор , то згідно з умовою паралельності, координати цих векторів пропорційні, тобто

Співвідношення (7) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку у заданому напрямку або канонічним рівнянням прямої.

Звернемо увагу, що до рівняння вигляду (7) можна перейти, наприклад, від рівняння пучка прямих(4)

,

або від рівняння прямої за точкою та нормальним вектором (1)

Зауваження. Вище припускалось, що напрямний вектор – ненульовий, але може трапитись, що одна з його координат, наприклад, . Тоді вираз (7) формально запишеться

який, взагалі кажучи, не має смислу. Однак приймають і отримують рівняння прямої перпиндикулярної осі . Дійсно із рівності видно, що пряма визначена точкою і напрямним вектором , перпиндикулярним осі . Якщо ж в цьому рівнянні звільнитись від знаменника, то отримаємо , або – рівняння прямої, перпендикулярної осі . Аналогічно було б отримано для вектора .

Щоб перейти до параметричного рівняння прямої, прирівняємо кожен із дробів (7) до параметра . Оскільки хоча б один із знаменників в (7) відмінний від нуля, а відповідний чисельник може набувати довільні значення, то область зміни параметра – вся числова вісь. Отримаємо

або

Рівняння (8) називається параметричним рівнянням прямої.

 

Приклади

 

1.На прямій лінії заданої рівнянням , знайти точку M(x,y), що знаходяться від точки цієї прямої на відстані 10 одиниць.

Розв’язання. Нехай шуканаточка прямої, тоді для відстані запишемо . За умовою . Оскільки точка належить прямій , що має нормальний вектор , то рівняння прямої можна записати

Тоді відстань . За умовою , або . З параметричного рівняння

Відповідь:

 

2.Точка рухається рівномірно з швидкістю в напрямку вектора від початкової точки . Знайти координати точки через с від початку руху.

Розв’язання. Спочатку знайти одиничний вектор . Його координати це напрямні косинуси

.

 

Тоді вектор швидкості

 

Канонічне рівняння прямої тепер запишется

параметричне рівняння.

Після чого скористатись параметричним рівнянням прямої при . Відповідь: .

 





sdamzavas.net - 2018 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...